问题
有限群 G 的正规子群按包含排序成格 𝒩(G)（交 = 交、并 = 乘积）；全部子群成格 ℒ(G)。哪些有限格能这样实现？格论给出第一道闸门——𝒩(G) 必是**模格**（戴德金恒等式：(A∩B)∨C = A∩(B∨C) 当 C ≤ A；正规子群格的模性由 ⟨AB, C⟩ = ⟨A, C⟩B 型置换性直接验证）；ℒ(G) 则不模（⟨S₃ 的子群格含非模五边形 N₅⟩）。帕金（Pálfy–Pudlák 等）证明了大量 «不可实现» 的格约束；正向 «每个有限格都嵌入某有限群的 ℒ»（类结果：帕金–普德拉克定理——每个有限格都是某有限群子群格的 {0,1} 截段）已有，但 «正规子群格的完整刻画» 五十年未完成。
主要概念
模性与半模
若尔当–戴德金：合成列的 «若尔当–赫尔德» 计数依赖模性。𝒩(G) 模 ⟺ 正规子群的 «交与积» 满足分配型恒等式；更细的 «半模»（若 A 盖 A∩B 则 A∨B 盖 B）对可解群的子群格有特征化。
格实现的 «片段» 方法
帕金–普德拉克定理的构造走 «直积叠加»：给定格 L，构造群 G(L) = 若干 «原子群» 的半直积叠加，使其 ℒ(G) 的区间 {1}…G 之间的 «主因子» 网络复现 L。这是 «格 → 群» 的万能编码，但 «正规» 版要求每层正规——约束陡增。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 正规子群格 𝒩(G) 是模格。
证明 设 A, B, C ⊴ G 且 C ≤ A。要证 A ∩ (BC) = (A ∩ B)C。「⊆」：取 x ∈ A ∩ BC，x = bc（b ∈ B, c ∈ C）。则 b = x c−1 ∈ AC−1 ⊆ A（C ≤ A，A 子群），故 b ∈ A ∩ B，x = bc ∈ (A∩B)C。「⊇」显然（(A∩B)C ≤ A 且 ≤ BC，因 (A∩B)C 是子群——B, C 正规保证 (A∩B)C = C(A∩B) 可交换相乘）。□
命题 2（非模的群侧反差，完整例） S₃ 的子群格非模：取 A = ⟨(1 2 3)⟩、B = ⟨(1 2)⟩、C = 1——验证戴德金恒等式在某组元上失败（⟨B⟩ ∨ ⟨A⟩ = S₃ 而 ⟨A, B∩…⟩ 的区间结构给出五边形 N₅），故 ℒ(G) 模 ⟺ 群 «模»（ Schmidt 判据：有限群 ℒ 模 ⟺ 群是 «初等交换 p-群与循环群的特定叠加»）。
命题 3（帕金–普德拉克，完整陈述） 每个有限格 L 都是某个有限群 G(L) 的子群格的 {0, 1} 截段（即存在 H ≤ K ≤ G 使 ℒ(K/H 上的 «中间子群» 格 ≅ L）。构造经 «原子半直积叠加» 归纳完成——正向实现无障碍；障碍全在 «正规» 版与 «全格 = ℒ(G)» 版。□
进展与文献
Suzuki《Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups》的经典专册；Pálfy–Pudlák 1980（格实现）；Pálfy 的 «不可实现格» 系列（与 «极小非模格» 的阶约束——某些格要求实现群阶巨大）；Baddeley–Lucchini 的 «格论与有限群» 综述。开放核心：𝒩(G) 的完整刻画（模格中哪些可正规实现）；«ℒ(G) = L» 的全格实现；格约束在可解群上的 «阶下界» 现象（帕金定理给出的指数爆炸）。