特征标表的统一公式还差什么 · 公开问题 35

问题

有限群 G 的不可约复特征标集 {χ₁, …, χ_r} 编码 G 的表示论全息图。已知 r = 共轭类数，Σχ_i(1)² = |G|。本问：给定 «宏观信息»（阶、单群因子分解），r 与次数谱是否存在不诉诸 CFSG 全表逐群核验的自足公式？李型群有 Deligne–Lusztig 理论覆盖大头；散在群与 «交错群次数谱的 n 依赖公式» 仍零散。

主要概念

特征标与正交关系

类函数空间上的内积 ⟨χ, ψ⟩ = (1/|G|)Σχ(g)ψ̄(g)；不可约特征标构成该空间的正交基。r = dim（类函数空间）= 共轭类数；次数谱 Σχ_i(1)² = |G| 是正交关系的推论。

三大谱系现状

①对称群：不可约数 = 分拆数 p(n)（Hardy–Ramanujan 渐近 (1/4n√3)·e^π√(2n/3)——有 «自足公式»），次数由 hook 长度公式精确给出（命题 3）；②李型群：Deligne–Lusztig 把不可约表示参数化为 «对偶几何的 ℓ-进上同调»，GL(n, q) 的谱完全均匀；③散在群：无公式，逐群计算（GAP 表）。

主要命题与证明

命题 1（舒尔正交与计数等式，完整证明）　①不可约特征标两两正交且作成类函数空间的正交基；②Σχ_i(1)² = |G|。

证明　①内积计算：⟨χ_V, χ_W⟩ = (1/|G|)Σ_g tr(g|V)·tr(g⁻¹|W) = tr(P)，其中 P = (1/|G|)Σ_g g|V⊗W* 是 «平均化算子»——它把任意元投影到 «G 不动向量»；舒尔引理：Hom_G(V, W) = ℂδ（不可约性），故 P 的迹 = 1（V ≅ W）或 0。r 个两两正交的单位向量张满类函数空间（类函数 ≅ 共轭类的对偶空间，维数 = 类数），得基。②取正交基的完整分解：恒等表示的 «正则特征» χ_reg(1) = |G|、χ_reg(g ≠ 1) = 0，展开 χ_reg = Σχ_i(1)χ_i，取 ⟨·, χ_i⟩ = χ_i(1)，即 χ_reg(1) = Σχ_i(1)²。□

命题 2（GL(2, q) 的类数 = q² − 1，完全计算）　GL(2, 𝔽_q) 恰有 q² − 1 个共轭类，故恰有 q² − 1 个不可约特征标——李型 «自足公式» 的样品。

证明　共轭分类 = 有理标准形：2×2 可逆矩阵按特征多项式分四型。①双不同特征值 a ≠ b ∈ 𝔽_q^*（对角化，类由无序对 {a, b} 定）：𝐶(q−1, 2) = (q−1)(q−2)/2 类。②不可约二次特征多项式（特征值在 𝔽_q² 中共轭，类由首一不可约多项式 x² − t x + d（判别式非平方，d ≠ 0）定）：计数 = (q² − q)/2（首一不可约二次式总数，常数项全非零的恰为其半？精确地：判别式 t² − 4d 非平方的 (t, d) 对：对每个 t，恰 (q−1)/2 个 d 使判别式非平方；总 q(q−1)/2）。③若尔当型（特征值 λ ∈ 𝔽_q^* 重复、非对角化）：类由 λ 定，q−1 类。④纯量：q−1 类。合计 (q−1)[(q−2) + q]/2 + 2(q−1) = (q−1)(q+1) = q² − 1 ✓。□

命题 3（hook 长度公式，完整陈述与机制）　S_n 的对应分拆 λ 的不可约表示次数 χ^λ(1) = n!/∏_格h(格)（h = 该格的 hook 长度 = 右侧格数 + 下方格数 + 1）。机制：分拆的 «组合即表示»（Specht 模）+ 行列式公式（χ^λ(1) = n!·det(δ_{λᵢ−i+j−1})/(∏(λ_i−i)!)) 的组合恒等式化简）—— «n 依赖公式» 的成功样本。

验证样本　λ = (n−1, 1)：hook 积 = (n−1)!·1：第一行 n−1 个格 hook 长为 n, n−2, n−3, …, 1，第二行单格 hook 1。χ(1) = n!/((n−1)!·1) = n−1——恰是 «标准表示» 的维数 ✓；λ = (1ⁿ)：全符号表示维数 1 = n!/(n!·1) ✓。□

进展与文献

Serre《Linear Representations of Finite Groups》（命题 1 的标准处理）；Deligne–Lusztig 1976（李型群的几何化参数化）；Fulton–Harris《Representation Theory» 与 James–Kerber（S_n 谱系）；Malle 的 «特征标次数 vs 子群计数 » 猜想族（数论分册 47 号与本问的互推接口）。开放核心：①散在群的任何 «生成公式»（连 26 个群的特征标表之间也未见结构性规律）；② «自足» 的精确语义学——若允许 «以单群因子为输入的查表»，问题退化；真正的问法是 «由阶与结构不变量多项式时间计算谱» 的算法存在性。与本册问题 29（本原群谱）、13 号（CFSG）构成 «表示–置换–分类 » 三角。