问题
逆伽罗瓦问题（IGP）：每个有限群 G 是否都是某多项式 f ∈ ℚ[x] 的伽罗瓦群（即存在 ℚ 的伽罗瓦扩张 K/ℚ，Gal(K/ℚ) ≅ G）？已知：可解群全部成立（沙法列维奇 1954，用 «数域的嵌套希尔伯特类塔»）；对称群经 «一般多项式» 平凡成立；多数李型群 «在某数域上» 成立（经德拉涅利刚化）。ℚ 上的完整版本连 An（大 n）都只有塞尔型条件结果；正则版（ℚ(t) 上）更难——它是 «数域与函数域 » 的深层交汇。
主要概念
正则实现与哈里斯字形
«正则» 实现：Gal(ℚ(t)/ℚ(tG)) ≅ G 的伽罗瓦覆盖 ℙ¹ → ℙ¹/G（在 ℚ 上定义）。哈里斯的 «字形（dessin d’enfants）» 方法：把实现转成 «三分支覆盖的组合数据»（Belyi 映射），加刚化条件后经德拉涅利–哈里斯刚化定理（三分支覆盖经单值群 «自我钉死»）产出实现——这是 1980–90 年代 IGP 的主引擎。
沙法列维奇的嵌套构造
可解群的实现走 «类域塔»：若 G 可解，取链 1 = G₀ ⊲ ⋯ ⊲ Gk = G，逐层做 «希尔伯特类域» 的循环扩张（每层经类域论把循环群实现为某类域的伽罗瓦群），嵌套拼接成 G。
主要命题与证明
命题 1（沙法列维奇定理，完整骨架） 每个有限可解群都是 ℚ 上某多项式的伽罗瓦群。
证明（骨架） 归纳于 |G|：取极大正规子群 N（商 G/N = Cp 素阶循环）。归纳得 K/ℚ 伽罗瓦、群 N。类域论：存在 K 的 «类域» 扩张 L/K（有限、伽罗瓦、群 Cp——经 «K 的理想类群中取 p 阶特征» 的存在性，阿廷映射非零）。取 L 与 ℚ 的 «合成» 并控制 «扰动»（沙法列维奇的关键一步：合成可能破坏伽罗瓦性——他经 «韦伊高度控制» 与 «K 的充分大扩张» 保证 Lℚ 合成的伽罗瓦闭包恰为 G）。□
命题 2（德拉涅利刚化，完整陈述） 三分支覆盖（单值群生成元为 «三个 » 且积为 1）在给定 «单值数据» 后至多一个 ℚ 上定义的模型——«刚化 ⟹ 实现对象自动定义在 ℚ 上»。推论：椭圆曲线的单值群族、许多 An 与李型群经此在 ℚ(t) 上正则实现。□
命题 3（塞尔的条件化，完整陈述） An 在 ℚ 上的实现归结为 «塞尔数域计数»：An 扩张的 «计数渐近» 与 «局部条件» 的相容——模形式方法（泰勒、瑟雷的 «势自守 » 机器）已证 «对几乎所有局部条件» 的实现，但 «逐个存在»（IGP 原版）仍缺最后一环。□
进展与文献
Neukirch–Schmidt–Wingberg《Cohomology of number fields》的类域塔框架；Serre《Topics in Galois theory》的 IGP 讲义；Malle–Matzat《Inverse Galois theory》的 2000 年代全书；Ellenberg–Venkatesh 的计数侧纲领。开放核心：非可解单群在 ℚ 上的逐个实现（An 大 n、例外李型）；正则版与 «字形 » 的刚化极限；IGP 与格罗滕迪克–泰希缪勒群的 «域同构 ⟹ 群同构» 方向（问题 23）的联合前沿。