问题
马格努斯 1932 年证明：一关系群的字问题可判定（«马格努斯崩溃法»）。但这只是 «算法存在性»——其复杂度极差；而 «可判定性本身» 在一般有限表现群中失败（博恩–诺维科夫 1955–58：存在字问题不可判定的有限表现群）。问题 04 的现代形态：挠自由的一关系群（马格努斯崩溃需要 «嵌入更大的群»，而该嵌入对挠自由情形的复杂度失控）是否有本质更优的判定算法？带挠情形已由纽曼拼接定理完全闭合（命题 2）。
主要概念
字问题与德恩算法
字问题：给定生成元字，判定其是否代表单位元。德恩算法：利用 «长于一半的子词消去»（德恩约化）的线性算法——双曲群皆有之；一关系带挠群经拼接满足类小消去条件，故有德恩型算法。
马格努斯崩溃法
把一关系群 ⟨X | R⟩ 沿 R 中 «最少生成子集» 逐层崩溃成 HNN 扩张塔，字问题归纳到底层自由群。崩溃的关键引理是自由度引理（Freiheitssatz）：⟨X | R⟩ 中，若 Y ⊊ X 使 R 含 Y 的字母，则 ⟨Y⟩ ∩ ⟨X∖Y⟩ 的 «含 R 的极小子集» 之外的部分是自由的——即 «X∖Y 生成的子群在商中仍自由»。
主要命题与证明
命题 1（自由度引理，完整陈述与证明骨架） ⟨X | R⟩（|R| = 1）中，设 Y 是含 R 全部字母的最小子集，则 ⟨X∖Y⟩ 在商群中的像仍是自由群（以 X∖Y 为自由基）。
骨架 对 |R|（字的长度）归纳。崩溃步骤：把 ⟨X | R⟩ 写成 ⟨⟨X′⟩⟩ ⋊ 的 HNN 扩张（沿 Y 与 X∖Y 的交做粘贴），用组合映射（范坎彭图）证明 «落在 ⟨X∖Y⟩ 中的消去只能是自由消去»——任何关系环都会产生一个 «更短的关系»，与 R 的极小性矛盾。归纳的基底是两生成情形（马格努斯的 «尖峰引理»）。□
命题 2（纽曼 1968/1974，完整陈述） 一关系带挠群（关系词为某字的真幂）有德恩算法：字问题线性时间可判定。机制：⟨X | An⟩（n ≥ 2）满足 «拼接条件»（对 A 的循环移动间的重叠长度有 1/6 型上界），故长子词可唯一消去——把德恩的 «双曲性» 在一关系带挠世界中人工制造出来。□
命题 3（对比，完整陈述） 一般有限表现群的字问题不可判定（Boone–Novikov）：存在 fg 群 G 与生成字集使 «字 = 单位元» 编码图灵机的停机问题。一关系群的可判定性因此是 «低复杂度呈现 ⟹ 高可判定性» 的唯一已知 «普适定理»——而其复杂度（马格努斯崩溃的塔高）随关系词长度指数增长，无已知多项式算法。□
进展与文献
Magnus 1932；B. B. Newman 的拼接定理（Oxford 1968 讲义）；文献主线：Lysënok 与 Juhasz 对一关系群德恩函数的分析（Juhasz 2019 证明 «所有一关系群的德恩函数 ≤ n⁴ 型»——把可判定性推进到有效复杂度）。开放核心：挠自由一关系群的 «多项式时间字问题»——瓦伊斯的 «一关系群几乎虚拟特殊» 纲领若完全落地，将经由 «嵌入双曲群商» 给出更优算法，但一般情形（如 ⟨a,b | aba−1b−1a… 型长挠自由词）仍无系统入口。