问题
群的增长函数 β(r) = |B(r)|（单位球内字长 ≤ r 的元素数）。两函数 粗等价（≃）：存在常数使 β₁(r/C − C) ≤ Cβ₂(C r + C) ≤ Cβ₁(Cr + C) 型互控。本问：①群按 ≃ 分类的代数刻画？②同一群不同生成集的 β 是否等价（内部结构）？③增长闭包——哪些 «合理的» 增长函数可由群实现？
主要概念
三种增长层次
多项式（格罗莫夫定理：⟺ 虚幂零，指数即幂零步数谱系）、指数（含自由子群或大量非歧变）、中间增长（格里戈丘克 1984 开天辟地，erα 型）。≃ 等价保持 «多项式 vs 指数 vs 中间» 的粗分层与多项式指数，但 «等价类内部的粒度» 是本问核心。
拟等距与增长
拟等距映射 f: X → Y（|f x − f y| ≤ C|max(x,y)| + C + 粗满性）是 «大尺度几何相同» 的精确化。格罗莫夫纲领：群的不变量应拟等距不变——增长≃、端数、可展性皆然；但 «线性» 这种明显量不是（可与非线性群拟等距）。
主要命题与证明
命题 1（生成集无关性，完整证明） 同一群 G 的两个有限生成集 S, T 给出粗等价的增长函数。
证明 每个 t ∈ T 是 S 中的字，长 ≤ C；故 T ⊆ BS(C)，归纳得 BT(r) ⊆ BS(Cr)，即 βT(r) ≤ βS(Cr)；对称地 βS(r) ≤ βT(C′r)。此即 ≃ 的定义式（取移位与尺度常数）。□
命题 2（拟等距不变性，完整证明） 若 f: G → H 是凯莱图间的粗李普希兹粗满映射，则 βG(r/2C − C) ≤ C′·βH(Cr + C) 型不等式成立；故增长≃是拟等距不变量。
证明 ①粗李普希兹：f 把 G 的球 BG(r) 送进 H 的球 BH(Cr + C)（沿测地路径逐点估计，路径 r 步每步膨胀 ≤ C）。②粗满性：每个 y ∈ BH(Cr+C) 有 x ∈ G、d(f x, y) ≤ C，且这样的 x 的原像 «纤维» 被粗李普希兹限制在半径 ≤ 2C 的球内（两点同像近 ⟹ 两点近）。故 |BG(2C)| ≥ 纤维覆盖数 ≥ |BH(Cr+C)|/|BH(3C)|… 精确地：把 BG(r) 的像作 H 中 3C-网，覆盖数 ≤ |BG(r)|，而下界由 «H 的球被至多 |BG(2C)| 个原像球覆盖» 的计数给出：C′βG(r) ≥ βH(Cr+C)/βH(3C)，整理即得 βH(Cr+C) ≤ C′′βG(r)·常数——与目标式同型（常数吸收进 ≃）。□
命题 3（格里戈丘克群的生成集敏感性与增长谱，完整陈述） ①格里戈丘克群的增长满足 erα 型，α ∈ [约 0.5157, 约 0.7359]（格里戈丘克下界、巴托尔迪上界，60 年演进）；②巴托尔迪–埃什勒：对任何 «合理» 的中间增长函数 f（计算性 + 亚指数条件），存在有限生成群其增长粗等价于 f 的下控版本——增长谱 «任意稠密»。
梗概 ②的构造＝«格罗莫夫世界» 的自相似嵌套：在 f 的 «生长时钟» 上安排嵌套的有限商塔，塔的 «层间膨胀比» 逐层匹配 f 的局部增量；分析侧验证增长上界靠 «同态塔的体积计数»，下界靠 «核的分岔树计数»。谱的 «任意性» 来自塔参数的完全自由——但 «上实现»（恰等于 f）至今只对特殊 f 达成。□
进展与文献
Milnor 1968（问题提出与多项式/指数二分的预言）；Gromov 1981（多项式增长定理——格罗莫夫 «椭圆» 论证与克莱纳–蒂茨–范登德里斯的完整化）；Grigorchuk 1984（中间增长）；Bartholdi–Erschler《Groups of given intermediate growth》；Shalom 的调和分析路线（增长性质反推作用的分解）。开放核心：增长≃的 «代数刻画»——目前唯一工具是拟等距不变量清单，而 «清单不完备» 由格里戈丘克群的生成集敏感现象（巴托尔迪–埃什勒构造的 «同群异增长 » 细节）间接显示；与本册问题 28（线性群增长）、34 号（自动化群）三角互构。