问题
阿廷辫群 Bn = ⟨σ₁, …, σn−1 | σiσi+1σi = σi+1σiσi+1, σiσj = σjσi（|i−j| ≥ 2）⟩。本问：①线性性（Bn 已解——比格洛–克莱默 2001）；②自同构与 «表示刚性» 分类（Bn 已基本完成）；③一般阿廷群（考克斯特群的辫化）的线性性——大规模开放，连 B(m, n, m) 型都难。
主要概念
加赛德结构与线性 candidates
阿廷群的 «正性单体半群» 与 «简单元素»（加赛德元）给出格子结构——这是 «刚性» 论证的统一框架（自同构保格子）。线性性候选：克莱默表示 ρ: Bn → GL(m, ℤ[t±1, q±1])（m = 𝐶(n,2) 选对数）。
直角阿廷群（RAAG）
A(Γ)：生成元按图 Γ 的边交换。RAAG 是 «几何群论的周期表»（任意有限展现群可嵌入足够大的 RAAG—— «RAAG 万有性 » 的克拉维茨表示）。RAAG 自身线性，而 «一般阿廷群» 连有限型的多数情形都还在征途上。
主要命题与证明
命题 1（比格洛–克莱默：Bₙ 线性，完整陈述与机制） 克莱默表示 ρ: Bn → GL(𝐶(n,2), ℤ[t±1, q±1]) 忠实（n ≥ 4；B₃ 经伯恩赛德表示线性）。
机制 两条独立路线：①克莱默（代数）：ρ 由 «选对上的自由偏序» 驱动——把 Bn 作用到 «阿廷单调格» 的分次化上；忠实性 = 任何非单位元素 «移动» 某个选对（经加赛德正规形：非平凡元素的 «首项» 暴露一个被移动的选对，显式矩阵给出非平凡作用）。②比格洛（拓扑）：ρ 是 «双曲平面圆盘的切圆构形的柯克霍夫表示» 的量化版本；忠实性经 «骨架带» 的拓扑横截论证——非单位辫子在 «辨别的» 两条曲线上留下非平凡交叉。□
命题 2（Bₙ 的自同构分类，完整陈述） n ≠ 6 时 Aut(Bn) ≅ Bn ⋊ ℤ/2（内自同构 + «镜面 » σi ↦ σn−i）；n = 6 有例外外自同构（与 S₆ 例外同源）。Bn 中心 = ⟨Δ²⟩（全扭元素），且任何自同构把 «标准生成系» 的特征性质（交换图 + 加赛德格）整体置换—— «刚性» 的机制。
骨架 ①中心与 «围道»（peripheral）子群 ⟨σ₁, Δ²⟩ 型的刻画是共轭/自同构的 «锚»：自同构必保 «平方即全扭» 的元素类；②交换图（σi 与 σj 交换与否）是群的 «内在结构»（可经中心化子格读出），故自同构诱导交换图的图自同构 = 镜面或恒等；③剩余由生成系生成 Bn 收口。□
命题 3（一般阿廷群的线性性：开放谱系，诚实陈述） 已知线性：有限型（球面）阿廷群之 A/B/C/D 型（经克莱默型表示与 Cohen–Wales 路线）；仿射型多数；RAAG 全体。开放：「所有阿廷群线性？」——连三生成元的 B(m, n, m) 型（生成元对 ⟨s, t⟩ 交换关系边标 (m, n, m)）都无已知忠实表示； «非线性反例存在吗 » 同样开放。
障碍说明 克莱默路线依赖 «格 » 的存在（加赛德结构），而一般阿廷群的单体 «无格子»（简单元素不唯一）；替代路线（ «到 RAAG 的嵌入 » 或 «到映射类群的嵌入 »）各有覆盖面但 B(m,n,m) 型恰好两头都够不着—— «三角阿廷群 » 的几何（双曲平面三角群）与代数（ «非格 » 加赛德失败）之间的鸿沟是精确的障碍所在。□
进展与文献
Garside 1969（格子结构开山）；Bigelow–Krammer 2001（线性性双证）；Krammer《The braid group B₄» 与巴黎学派（阿廷单体嵌入）；Charney–Davis（RAAG 几何）；Crisp–Paris（阿廷群到 RAAG/映射类群的嵌入谱系）。与本册问题 19（自同构塔）、36 号（三流形群）、38 号（映射类群——Bn 是「圆盘映射类群」）强关联； «三角阿廷群» 的线性性是本问最锋利的子问题。