问题
周期半群：每个元素的某幂是幂等元（xn = x2n）。局部有限：有限生成的子半群都有限。本问＝半群版伯恩赛德问题：有限生成的周期半群何时局部有限？ «局部有限 ⟺ 无自由子半群» 的判据是否存在？它与群情形（泽尔曼诺夫定理封顶）不同构，剩余部分开放。
主要概念
群版与半群版的错位
群版伯恩赛德： «有限生成 + 周期 ⟹ 有限?» 已被否定（Golod–Shafarevich 1964 无限挠群；奥尔什基扬斯基、塔尔斯基怪物的有限表现版），而 «局部有限 ⟺ 挠» 在 «虚幂零» 之外由泽尔曼诺夫的 «指数有界 ⟹ 局部有限 » 定理部分收口。半群版更微妙：半群没有逆元， «周期» 的定义直接落在幂等元上，而 «理想结构 »（绿关系）取代 «正规子群» 成为组织框架。
绿关系与理想链
半群的绿关系（a ℒ b ⟺ 生成的左理想相同等）把有限半群解剖为 «𝒟 类 → ℒ/ℛ 类 → ℋ 类» 的格子；周期半群的 «理想链»（谢夫林–沃尔科夫纲领）是 «局部有限性» 分析的骨架。
主要命题与证明
命题 1（幂等元存在，完整证明） 周期半群中每个元素有幂等幂：对每个 x 存在 n 使 xn 幂等。
证明 考察幂序列 x, x², x³, …：由周期性存在 r ≥ 1 与 p ≥ 1 使 xr = xr+p。两边乘 xs（s ≥ 0）得 xr+s = xr+p+s：幂列自 r 起以周期 p 循环。取 n = rp（≥ r）。则 n 与 2n 都 ≥ r 且同余 mod p（n = rp，2n − n = rp 是 p 的倍数），故 xn = x2n = xn·xn，幂等 ✓。□
命题 2（交换情形：周期 ⟹ 局部有限，完整证明） 有限生成的交换周期半群有限—— «判据» 在交换世界里完整成立。
证明 设 M 由 a₁, …, am 生成的交换周期半群。对每个生成元取幂等幂指数 ni（命题 1）与周期 pi：从指数 ni 起按模 pi 循环。任一元素是 «单项式» a₁e₁⋯amem（交换性把字归并为指数向量）。把每个指数 ei 折算：若 ei ≥ ni，用 ei mod pi（落在 [ni, ni + pi)）的代表替换——折算不改变半群中的值（循环性）。于是每个元素由 «有界指数向量»（ei < ni + pi）表示，向量至多 ∏(ni + pi) 个 ⟹ M 有限。□
命题 3（非交换世界的边界，诚实陈述） ①周期 + 有限生成 不自动局部有限： «无自由子半群 ⟹ 局部有限?» 的一般判据不存在已知形式；②已知结构结果（谢夫林–沃尔科夫纲领）：周期半群有 «理想链»，局部有限性可 «逐层» 检验——每层是 «ℋ 类群»（皆周期群）与 «正则骨架» 的组合；③ «幂等生成 + 周期 ⟹ 局部有限?» 的知名开放子问题：幂等生成的周期半群（ «正则世界 »）是否局部有限。
障碍说明 群情形的泽尔曼诺夫定理靠 «指数有界» 的恒等式机器（李代数化），半群无逆元 ⟹ «指数» 的概念分裂（左指数/右指数/双指数）， «有界» 的正确语义不明——这是判据缺失的技术根源；③的开放与 «自由半群 𝔽₂ 的幂等像» 的组合复杂性（ «轨道 » 理论）纠缠。□
进展与文献
Shevrin–Volkov 的纲领性综述（ «绿关系的伯恩赛德»）；Almeida《Finite Semigroups and Universal Algebra》（有限半群与变元的现代框架）；Rhodes–Steinberg《The q-theory of Finite Semigroups》（𝒟 类格子的系统理论）；Munn 与 Ponizovskiĭ 的 «半群表示» 传统（幂等元的表示论重量）。本问是群论分册与半群分册的正式接口：半群分册的伯恩赛德条目（含 «自由 Burnside 半群» 变元 xn = xn+1 的局部有限性谱系）从这里延伸；与本册问题 39（单位群）构成 «群 ↔ 半群» 双向桥。