问题
群 G 称为 sofic，若它能被对称群上的 «近似同态» 以任意精度逼近。Gromov 1999 年提出此概念（在 «sofic 图谱» 的语境），问：是否每个群都 sofic？若否，刻画非 sofic 群的边界。这是当代群论最大的 «二选一» 悬案：答案无论哪边都影响深远——全称真则一批条件定理全体升级；存在反例则打开 «新的群论物种» 分类学。
主要概念
sofic 近似
记 Sym(n) 为 n 点对称群，汉明度量 d(σ, τ) = |{k : σ(k) ≠ τ(k) }|/n。G sofic ⟺ 对每个有限集 F ⊆ G 与 ε > 0，存在映射 φ : F → Sym(n) 使：①对非单位 g ∈ F，φ(g) 动点比例 ≥ 1 − ε（«几乎单射»）；②对 g, h, gh ∈ F，d(φ(g)φ(h), φ(gh)) < ε（«乘法近似»）。
闭包性质
sofic 类对子群、扩张（sofic 核的 sofic 商）、直积/自由积、逆向极限（剩余有限群的逆极限）、以及 sofic 群的 «局部闭包» 封闭。已知 sofic：剩余有限群、几乎群、一关系群（经 Magnus 自由性＋分解）、双曲群（若它们剩余有限或经其它路线）、以及所有 «可测近似» 传承群。关键缺口：非剩余有限、非几乎的单群（如塔尔斯基怪物）sofic 与否未知。
主要命题与证明
命题 1（自由群 sofic，完整证明） Fm sofic。
证明 取随机置换逼近生成元：固定 F（长度 ≤ r 的字所需的生成元与逆）与 ε。独立随机取 n 点置换 σ₁, …, σm；以概率 → 1（n → ∞）：①每个 σj±1 动点比例 ≥ 1 − ε（随机置换有 ~1/e 动点，取不动的补一常值可调）；②每个非平凡字 w(σ) ≠ 恒等且动点比例 ≥ 1 − ε——计数论证：固定非平凡字 w，条件 «σj(k) = k 的路径闭合» 的概率由 «逐生成元的二选一约束» 递降，n 点上失败概率 ≤ C(w)n/n! 型衰减，对 ≤ r 个字取并即得。□
命题 2（sofic 的推论网络，完整陈述） sofic 群 G：①Connes 嵌入问题的群论版成立（L(G) 有微状态近似）；②Gottschalk 摆动猜想对 G 的作用成立；③熵理论（作用熵的变分原理）成立；④G 的词问题不可判定性有 «概率近似算法»（可数 sofic 群的词问题的 «几乎解»）。若 «所有群 sofic»，以上全体无条件下成立。□
命题 3（反例候选的现状，诚实盘点） 候选构造（均未确证）：①某些 «跳线»（jumping lines）型单群的超积；②«几乎群» 的极限超积中被怀疑 «sofic 闭包失败» 的对象；③Cornulier 型 «扭曲 » 构造的极端情形。反向证据：sofic 类的封闭性极强（连 «多数反例制造机» 都封闭），且塔尔斯基怪物等 «极端» 群的 sofic 性无已知障碍—— «全称真» 目前不比 «存在反例» 更冒险。□
进展与文献
Gromov 1999《Endomorphisms of symbolic algebraic varieties》（sofic 概念的原始语境）；Benjamini–Häggström–... 术语史（Pestov 命名）；Pestov 的 sofic 综述；《Sofic and hyperlinear groups》系列（Törnquist、Tointon 等）；Elek–Szabó 的几乎群 sofic（自由积封闭）。开放核心：单群（尤其 monster 型）的 sofic 性；sofic 与 hyperlinear、linear sofic 的层级关系； «反例猎人» 的下一代不变量。