问题
卡普兰斯基 1950 年代提出猜想：无挠群的群环无零因子（«群环继承群的 «无挠性»»）。它有更精细的 «单位猜想»（平凡单位之外无单位）与 «幂等猜想»（问题 12）——2021 年加德姆–贾尔斯构造出单位猜想的反例，使家族的 «精细层» 全线告警，而零因子本体仍屹立。
主要概念
群环
ℂ[G] = 形式和 Σ cgg（有限支撑），乘法按群运算卷积。G = ℤ 时 ℂ[ℤ] = ℂ[x, x−1]（洛朗多项式环）。
sofic 与秩论证
sofic 群 = 可被置换矩阵 «近似» 的群（Gromov 1999）。零因子猜想对 sofic 群的条件证明走 «秩» 路线：把 ℂ[G] 的元素近似为置换矩阵的线性组合，用 «矩阵秩的半连续性» 逼出 «ab = 0 ⟹ a = 0 或 b = 0»。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） ℂ[ℤ] = ℂ[x, x−1] 无零因子。
证明 洛朗多项式 f = Σi=mM aixi（am, aM ≠ 0）、g = Σj=pP bjxj 非零。积的最高次项 = aMbPxM+P ≠ 0（域中非零元乘积非零），最低次项同理非零。故 fg ≠ 0。□
命题 2（sofic 条件证明，严格梗概） G sofic 无挠 ⟹ ℂ[G] 无零因子。机制：对 sofic 群，任何 «卷积算子» Ta: ℓ²(G) → ℓ²(G) 可被有限维置换矩阵近似到 «冯诺依曼维数精度»；若 ab = 0 且 a, b ≠ 0，则 «核维数 + 像维数 = 全维数» 的精确计数在近似极限中失败——维数的 «半连续» 论证给出矛盾。□
命题 3（Atiyah 互推，完整陈述） 强 Atiyah 猜想（ℓ²-贝蒂数取整，问题 13）⟹ 零因子猜想：ℓ²-维数论把 «ab = 0» 转成 «Ta 的核维数 = 全维数»，整数性强制 «核 = 全空间» 即 a = 0。反向未知。与单位反例的关系：加德姆–贾尔斯的反例发生在系数域 𝔽₂、群为挠自由但 «非 sofic 已知» 的群——它提醒 «系数域的选取» 与 «群的类别» 都是活变量。□
进展与文献
Kaplansky《Fields and Rings》讲义；Gromov 1999 的 sofic 概念与 Elek–Szabó 的系统化；Gardam–Giles 2021 的单位反例（𝔽₂ 上的显式矩阵验算）。开放核心：非 sofic 群的存在性（问题 43）与零因子猜想 «同生死»；线性群上的肯定答案（经 «叉积环的 Goldie 定理» 已知 — 限维度情形）；以及 «零因子 ⟹ 挠» 的量化版（«零因子的支撑差» 结构）。