问题
群的增长函数 γ(r) = |{元素：字长 ≤ r}| 关于给定生成集。自由伯恩赛德群 B(m, n)（大奇 n，无穷）的增长是纯指数还是更低？阿江的下界与利斯诺克– Bartholdi 的上界都给出 «指数级»，但底数依赖 (m, n) 的精确方式——«增长谱的常数层»——未定。
主要概念
增长函数的层级
多项式增长（沃尔夫定理 ⟺ 虚拟幂零）、中间增长（格里戈丘克）、指数增长。指数增长率 lim γ(r)1/r 是准等距不变量；其 «有无间隙»（如增长率能否落在 (1, √k) 区间）是活跃问题。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 秩 k 自由群关于标准生成集的增长：γ(r) = 1 + 2k·((2k−1)r − 1)/(2k−2)，即指数率 2k−1；球面 |S(r)| = 2k(2k−1)r−1。
证明 字长恰为 r 的既约字：第一位 2k 种，以后每位不能与前一位互逆，故 2k−1 种。求和得 γ(r) = 1 + 2kΣj=0r−1(2k−1)j。既约字两两不同（自由群的正规型唯一）。□
命题 2（阿江下界 + 利斯诺克上界，完整陈述） 对奇 n ≥ 665：B(m, n) 的增长严格指数，且存在常数使 (1+c)r ≤ γ(r) ≤ Cr；利斯诺克证明上界可取 (2m−1) 型底数；增长率的 «间隙»（是否 ≥ 2 的某幂根）与 n 的关系未定。技术核心：小消去群的 «面积—长度» 联合估计把自由子半群的 «分形结构» 转成增长的指数下界。□
命题 3（偶指数的断层，完整陈述） 偶指数的 B(m, 2k) 结构与奇数完全不同：其中 «xn/2 生成的大中心» 现象（伊万诺夫猜想，部分已证）使小消去失效。B(2, 8)、B(2, 16) 的有限性各自独立悬置——奇偶断层是本问题最深的未知层。□
进展与文献
Adian–Lysënok 的界见《The Burnside problem》与 Izv. Math. 1992；Bartholdi 对 B(m,n) 增长的 «骨架» 分析（求和式极限）给出了几乎精确的指数率表达式。与问题 10（中间增长分类）、33（增长等价）构成 «增长三部曲»：本问的 «底数层» 与格里戈丘克群的 «中间层» 之间是否存在连续谱，是增长理论的核心真空。