问题
固定 n，令 f(p, n) 为阶 pn 的群个数（p 跑过素数）。希格曼 1960 年问：f(p, n) 是否为 PORC 函数——存在有限多组 «素数幂剩余类»（mod pk 的同余类），每组上 f(p, n) 是 p 的多项式？同文他给出著名渐近（与西姆斯独立）：f(p, n) = p(2/27+o(1))n³。小 n（≤11）的 PORC 已验证；n = 12 起连 «是否 PORC» 都未知。
主要概念
PORC 与 «计数函数的算术性»
PORC = Polynomial On Residue Classes。它是 «局部 ζ 函数的离散影子»：若群由 «参数族» 给出，参数取值落在 «格点多项式条件» 里，计数即为 «格点计数»——而格点计数天然是准多项式（quasi-polynomial，周期由格的行列式给出）。PORC 猜想断言：p-群的 «分类参数族» 有限多且 «格点型»——这是 «分类的存在性» 的计数化身。
下中心列与括号结构
阶 pn 的群 «多数是类 2»：下中心列长 2 的群由 «括号映射 Λ²V → W»（交错矩阵对）分类，其 «同构类计数» 化为 «双线性型轨道计数»——这是 Higman 渐近的引擎：类 2 群主导计数（«绝大多数 p-群是类 2» 的精确化由 Higman–Sims 证明）。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 阶 p3 的群个数：对 p > 2 恰 5 个（3 交换 + 2 非交换）；对 p = 2 恰 5 个但非交换结构不同（D₈ 与 Q₈）。f(p, 3) = 5 对一切 p——常数（PORC 的退化情形）。
证明 交换群由初等因子唯一：ℤ/p³、ℤ/p²×ℤ/p、(ℤ/p)³，共 3 个。非交换：类 2，商 G/Z ≅ (ℤ/p)²，括号映射 Λ²(ℤ/p)² → Z ≅ ℤ/p 是一维空间上的非退化交错型——所有非退化型在 GL₂ 下等价，恰 1 类（海森堡群，幂指数 p）；再排除 «幂指数 p² 的类 2»（p > 2 时唯一：⟨a, b | ap² = bp = 1, [a, b] = ap⟩ 的家族在 GL₂ 下等价），共 2 个非交换。p = 2 时同型论证给出 D₈、Q₈ 与三个交换群——总数仍 5。□
命题 2（Higman–Sims 渐近，推导骨架） logp f(p, n) = (2/27)n³ + O(n8/3)。引擎：类 2 群 ↔ «双线性映射对» (V, W, β: Λ²V → W) 的同构类；维数分解 n = v + w 时 «同构类个数» 的主导项来自 «β 的轨道计数» ≈ p(vw²−w³/3 …) 型指数，对 v = 2n/3、w = n/3 求极值得 2n³/27——极值的三次性正是 «轨道计数 = 格点数的体积» 的直接推论。□
命题 3（PORC 的已知验证域与反方向阴影，完整陈述） ①n ≤ 7：完整 PORC（经典计算）；②n = 8–11：经 du Sautoy–Newman–O’Brien 的机器枚举验证 PORC；③n = 12 及以上：开放；④阴影面：du Sautoy 的 ℤ-类群计数（zeta 函数）已造出 «局部 ζ 非有理» 的群—— «自然计数函数可能不 PORC» 的预警真实存在，PORC 猜想并非 «显然该真»。□
进展与文献
Higman 1960《Enumerating p-groups. I》（PORC 与渐近同文提出）；Sims 的独立渐近与 «p-群生成算法»；Newman–O’Brien–Vaughan-Lee 的小 n 枚举系列（n ≤ 11 完整分类）；du Sautoy–Grünewald 的 ζ 函数纲领。开放核心：n = 12 的 PORC 验证（需 «类 3» 结构的轨道系统理论）；«PORC ⟹ p-群参数分类存在» 的反向逻辑链；PORC 与 «局部 ζ 的有理性» 的精确关系（du Sautoy 的非有理例是否给 «非 PORC» 的 f(p, n)——已知否，但机理未明）。