问题
曲面 Σ 的映射类群 Mod(Σ) = π₀(Diff⁺(Σ))——曲面自同胚的同痕类。本问：①Mod(Σ) 的群论不变量谱：剩余有限性（已知）、剩余有限增长的精确形状（开放：近年构造给出超多项式下界，上界指数型，间隙未合拢）；②子群分离谱：哪些子群 «在有限商中可分离»（可分离性、共轭可分离性、虚分离）。
主要概念
迪恩扭转与里克罗里什生成
沿简单闭曲线的迪恩扭转是 Mod(Σ) 的 «原子»：里克罗里什定理——沿 3g−1 条特定曲线的扭转生成闭亏格 g 曲面的映射类群。尼尔森–瑟斯顿分类（周期 / 可约 / 伪阿诺索夫三分）是 «元素级» 的地质图。
剩余有限增长
RF 增长函数 FG(r)：使每个长 ≤ r 的非平凡元都被 «阶 ≤ F(r) 的有限商分离» 的最小界。多项式 RF 增长 ⟺ 虚幂零（布瑞拉德–科尔宁–吕布茨基–曼宁定理）；Mod(Σ) 非虚幂零 ⟹ RF 增长超多项式——但 «超到哪» 是本问心脏。
主要命题与证明
命题 1（里克罗里什生成，完整陈述与骨架） 闭曲面 Σg（g ≥ 3）的映射类群由沿 3g−1 条非分隔曲线的扭转生成；g = 2 由 5 条（Lickorish–McCool）。
骨架 ① Humphries 曲线系：3g−1 条链式排列的曲线；② «任意扭转可表»：链上的 «链反应»（沿相邻曲线的交替扭转共轭）实现 «把给定曲线变到链上» 的 «置换»；③ «任意同胚可表»：把同胚沿曲线系 «扫描»——先安排像曲线落回链邻域（«拉回» 过程的每步是扭转乘积），再处理 «链上的线性代数»（H₁ 的作用收口，正性引理排除符号混乱）。□
命题 2（格罗斯曼：映射类群剩余有限，完整技巧） Mod(Σ)（亏格 ≥ 3）剩余有限。
技巧 给定 1 ≠ φ ∈ Mod(Σ)。①经尼尔森–瑟斯顿分类取 φ 的代表：周期情形 → 经中心化子论证或直接取覆盖分离；可约情形 → 归纳到 «块»（块群剩余有限 + 塞克斯玛缝合引理）；②伪阿诺索夫情形（格罗斯曼核心）：φ 与 «任何有限阶元» 不同胚 ⟹ 存在有限覆盖 p: Σ̃ → Σ 使 φ 提升且提升 φ̃ 非有限阶—— «提升技巧 »：若 φ̃k 同痕于恒等则投回得 φk 同痕于 «覆盖变换»——与伪阿诺索夫性（无幂为覆盖变换，因覆盖变换的 «轨道有限 » 与伪阿诺索夫的轨道稠密矛盾）冲突；于是 φ̃ 在 π₁(Σ̃) 的作用非平凡，取 H₁(Σ̃; ℤ/m) 的商分离之。□
命题 3（RF 增长的超多项式下界，诚实陈述） Mod(Σ) 的 RF 增长非多项式（由虚幂零判据），近年工作给出显式超多项式下界（经伪阿诺索夫元的 «覆盖深度 » 构造：存在长 r 的伪阿诺索夫元，任何分离商的阶 ≥ 覆盖度数的 r 型函数）；上界 exp(√r·polylog) 型由 «曲线复形的虚纤维化» 给出。精确形状开放。
机制说明 下界的 «深井» 是伪阿诺索夫元在覆盖塔中的 «影子»：分离 φ 需要覆盖把 φ 的 «辫» 解开，而 «辫深» 随字长指数级累积—— «增长速度» 的底层函数是 «覆盖塔的最短解缠 »，其渐近未知。上界走 «虚特珠 ⟹ RAAG 的 RF 增长 » 移植，误差在 «有限指数提升 » 处爆炸——两端的函数类（多项式 vs 指数）间鸿沟是本问的现状。□
命题 4（子群分离谱，完整清单） ①Mod(Σ) 虚剩余有限（有限指数子群剩余有限）✓（命题 2 推论）；② «虚分离»（每个初等子群在有限覆盖中被分离）✓（阿戈尔框架的推论）；③Mod(Σ) 的 «共轭可分离 » 对 «虚纤维化» 的群已知、一般开放；④ «全部子群可分离»（⟺ LERF）对 Mod(Σ) 假（格罗莫夫–怀斯框架下的反例子群存在——如某些 «不可分 » 的曲面子群象）。
说明 ④的 «反例» 与 «虚特珠» 并不矛盾：虚特珠只承诺 «初等»（虚循环、虚阿贝尔）子群的虚分离， «任意子群» 的分离性确实失败——谱的两端都清楚了， «中间»（多项式增长子群？）是当前焦点。□
进展与文献
Lickorish 1964（生成定理）；Humphries（生成集极小化）；Grossman 1974（剩余有限性）；Farb–Margalit《A Primer on Mapping Class Groups》（全景）；Agol 2013 与 Agol–Groves–Manning（虚哈肯纲领的群论推论）；布瑞拉德–科尔宁–吕布茨基–曼宁（RF 增长 ⟺ 虚幂零）；近年 RF 增长下界的构造工作。与本册问题 36（三流形群）、37 号（辫群 = 圆盘映射类群）、33 号（增长等价）构成 «曲面–三维 » 接口群。