问题
卡普兰斯基幂等猜想：无挠群 G 的群环 ℂ[G] 中，满足 e² = e 的元素只有 0 与 1。它与零因子猜想（问题 11）、单位猜想构成 «群环整性» 三部曲：零因子版说 «乘法无湮灭»，幂等版说 «乘法无投影»，单位版说 «可逆元只有平凡伸缩»。2021 年加德姆–贾尔斯否证了单位猜想——为家族敲响警钟；幂等版在 sofic 条件下成立，一般情形未决。
主要概念
幂等元与群环
e² = e 等价于 e(1−e) = 0：幂等元 ⟺ 环有非平凡直和分解 ℂ[G] = eℂ[G] ⊕ (1−e)ℂ[G]。群环有非平凡幂等 ⟺ 群环可分解——这是 «群能否从其环论里读出» 的试金石。交换环的幂等元对应谱的既约开闭分解；群环的幂等性把 «群的无挠性» 与 «环的连通性» 缝在一起。
系数域的角色
猜想对特征 0（ℂ）陈述；特征 p 的版本更微妙（p | |G| 时有限群也有怪幂等，经模表示论的块理论刻画）。加德姆–贾尔斯的反例取 𝔽₂ 系数——特征 2 是否 «更危险» 是反例留下的活问题。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） ℂ[ℤ] = ℂ[x, x−1] 的幂等元只有 0 与 1。
证明 ℂ[x, x−1] 是整环（问题 11 命题 1：洛朗多项式环无零因子）。若 e² = e，则 e(1−e) = 0，整环给出 e = 0 或 1−e = 0，即 e ∈ {0, 1}。□
命题 2（sofic 情形，严格梗概） G sofic 无挠 ⟹ ℂ[G] 幂等元平凡。机制与零因子版同源：把 e(1−e) = 0 转成卷积算子 Te 是投影（T² = T）；sofic 近似把 Te 换成有限维置换矩阵的线性组合 A，A² ≈ A 且 A ≈ A² 的迹在置换矩阵侧是 «轨道数» 的有理计数——极限中 Te 的冯·诺依曼迹等于其 «单位元系数»，投影的迹只能是 0 或 1（迹faithful 与极小性），故 e 的 «群支撑» 为空，e 是标量，再由 e² = e 得 0 或 1。□
命题 3（互推结构，完整陈述） ①零因子猜想 ⟹ 幂等猜想对同一群成立（e(1−e) = 0 直接化归）；②幂等猜想对 G 与其子群 «遗传»——H ≤ G 无挠时 ℂ[H] 是 ℂ[G] 的（不反弹的）子环，幂等元继承；③有限群侧的反面参照：|G| 有限且特征不整除 |G|（半单情形，马施克定理）时 ℂ[G] 幂等元由中心幂等（共轭类的特征标和）给出——«有限 ⟹ 丰富幂等、无挠 ⟹ 平凡幂等» 的对偶是本猜想的直觉内核。□
进展与文献
Kaplansky《Fields and Rings》的问题清单；Passman《The algebraic structure of group rings》的系统处理；Gardam–Giles 2021（单位反例，𝔽₂ 系数显式验算）与 Gardam 2021 的 ℤⁿ×ℤ 交叉积幂等正例。开放核心：无挠非 sofic 候选群（问题 43）上的幂等性；特征 p 的幂等猜想与块理论的关系；以及 «幂等猜想 ⟹ 零因子猜想» 的反向（已知不成立——幂等版严格更弱，但也因此更可能先被攻克）。