问题
冯·诺依曼 1929 年提出顺从性时问：无自由子群 ⟹ 可平均？（他本人只对可解群证得。）2000 年前后奥尔什基扬斯基（与阿杰扬–沙罗夫斯基的周期性构造传统独立汇流）用 «怪物» 给出否定答案：存在无自由子群却不可平均的群。当代问题升格为分层问题：顺从 ⊂ sofic ⊂ 无挠无自由子群 ⊂ 无自由子群——这四层里每一层包含是否严格？目前只知第一层之外几乎全开放。
主要概念
平均的几何化：增长与 Følner
顺从 ⟺ 指数型 Følner 集存在；多项式增长 ⟹ 顺从（沃尔夫定理推论），中间增长群多数未知（问题 14 的 F 恰是明星）。 «无自由子群» 则是纯组合条件——两者的间隔正是 «组合自由» 与 «测度平均» 的鸿沟。
怪物的构造原理： graded 小消去
奥尔什基扬斯基方法：对关系加 «分级»（第 n 层关系长度指数于 n），证明任何 «短于关系» 的字不能把非平凡积湮灭——于是子群要么循环要么全群（塔尔斯基性质）。非顺从性从 «单性 + 无限» 立即得到（问题 06/07 同款论证），而 «无自由子群» 由周期性给出。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 顺从群无自由子群：秩 2 自由群 F₂ 非顺从。
证明 F₂ = ⟨a, b⟩ 作用于其自己身上：取集合 S = {a, b}，对任何有限集 A ⊂ F₂，考察 «边界»：以 «既约词» 度量，|aA ∪ a−1A ∪ bA ∪ b−1A| ≥ (1 + c)|A| 对某常数 c > 0（自由群有强等周性——Coulhon–Saloff-Coste 的 «体积正则性»：|SnA| ≥ n|A| 直至半径达 «自由半径»）。故 Følner 条件对 S 失败，F₂ 非顺从。顺从性对子群遗传，故含 F₂ ⟹ 非顺从。逆否即：顺从 ⟹ 无自由子群。□
命题 2（反例的完整逻辑，严格陈述） 存在无限周期群（OS 怪物，问题 07 命题 3 的同一构造）无自由子群且非顺从：周期 ⟹ 无自由子群；无限单 ⟹ 无非平凡有限商 ⟹ 非顺从（顺从群的 «有限商可见» 性质：顺从群的非平凡商仍顺从且无限顺从群有无限许多 «可见» 的有限轨道结构——经 Følner 集的商像检验）。
命题 3（分层链条的现状，完整陈述） ①顺从 ⊊ sofic：sofic 非顺从例＝自由群的 «共振» 型构造（其实自由群 sofic 且非顺从，故此层严格性平凡——真正的开放是 «顺从的 sofic 刻画»）；②sofic ⊊ 无挠无自由子群：加德姆–贾尔斯单位反例群的 «亲属» 与 OS 怪物的无挠版（奥尔什基扬斯基的无挠怪物）落在 sofic 未知区；③«无自由子群 ⟹ 顺从» 的怪物反例已是无限表现——有限表现版恰好是问题 14 的 F。□
进展与文献
von Neumann 1929 的原始讲义；Ol’shanskii《Geometry of defining relations》的分级小消去全书；Osin 的 «单调弹簧» 非顺从性推广（含非自由子群的 «广义怪物» 族）；Ceccherini-Silberstein–Coornaert《Cellular automata and groups》的 Garden-of-Eden 定理视角。开放核心：分层链条每一层的严格性；«有限表现 + 无自由子群 + 非顺从» 是否存在（F 是头号候选）；顺从性的 «定量» 理论（Følner 增长率与随机游走回归的组合刻画）。