问题
置换群 G ≤ Sn（度 n）本原：保持的分划只有平凡两个。记 m(G) 为非平凡元素的极小支撑度（«极小度»）。本问：是否存在绝对常数 c，使一切本原 G（≠ Sn, An 情形）满足 |G| ≤ nc log n 型、m(G) ≥ c·n 型的统一且常数最优不等式？CFSG 之后各 O′Nan–Scott 型已有界（马乔里斯、利贝克–派伯），但常数互不咬合、仿射型例外未合流。
主要概念
O′Nan–Scott 分型
CFSG 的置换群化身：本原群分仿射型（V ⋊ H ≤ AGL(d, p)）、几乎单型（S ⊴ G ≤ Aut(S)，S 单）、扭曲圈积型（乘积作用与对角型）三大类。每类的不等式机制不同：仿射型看线性群阶 |GL(d,p)|，几乎单型看单群的极小度表，扭曲型看 «因子 » 个数。
极小度与若尔当定理
m(G)：非单位元动点数的最小值（动点 = 非不动点）。经典：若尔当定理——本原群含素数长 p 轮换且 p ≤ n−3，则含 An。它是 «小支撑元素逼出大群» 的原型。
主要命题与证明
命题 1（若尔当判据，完整骨架） 本原 G ≤ Sn 含 p-轮换（p 素，p ≤ n−3），则 An ≤ G。
骨架 ①若尔当引理：G 本原、含固定 n−p 个点的元素，则 G 的任何正规子群或者传递，或者含于该元素的不动点集的稳定子——本原性把正规子群逼成传递或 «囚于 p 点 »。②取含 p-轮换 g 的极大正规结构的核：核或传递——传递且 «小»（度 p 轮换的约束）逼出含 Ap 于支撑上，再由本原 «扩散 » 到 An；或核 «囚于 p 点 »——则商 G/核 忠实作用于 p 点集且含 p-轮换，商递降。③归纳收口：递降链终点的本原小度群逐一排查（度 < p² 量级的显式表）。□
命题 2（马乔里斯阶数界，严格梗概） 本原 G ≤ Sn（≠ An, Sn）满足 |G| ≤ n1+⌊log₂ n⌋（马乔里斯），且此形界的常数经利贝克–派伯的极小度–阶互译可化为 m(G) ≥ c log n/log log n 型（仿射情形）与 m(G) ≥ cn1/2− 型（几乎单情形）。
梗概 分型：①仿射型：G ≤ AGL(d, p)，n = pd：|AGL| = pd|GL(d,p)| ≤ n·pd² = n1+d，而 d = logpn ≤ log₂ n ✓；②几乎单型：单群 S 的阶表（CFSG）逐族给 |Aut(S)| ≤ nc 型（交错群与李型各有常数，李型的秩–域二分是难点）；③扭曲型：因子数 ≤ log₂ n，每因子 ≤ 基群，乘起来落进同一框。□
命题 3（最优常数的仿射障碍，完整论证） 统一最优常数 c 不可能存在若要求 «对所有本原群一体成立» 的逐点最优——仿射型提供 m(G) 的下界只达 Θ(log n/log log n) 量级（无穷多次达到），而几乎单型提供 Θ(n) 量级：两谱系 «常数» 天然不同。
证明 逐型核验 «常数不可统一» 的根源。仿射型 G ≤ AGL(d, 2)（n = 2d）：取对合 g = diag(λ, λ, 1, …, 1)（λ = 非平凡二阶元），g 固定 2d−2 个点、动 3·2d−2 = 3n/4 个点；平移元动 n−1 个点——故仿射谱系的 m(G) 恒为 Θ(n)。几乎单型同理 Θ(n)（单群极小度表）。真正拉低谱的是扭曲圈积型：度 n = bk 的 k 因子乘积结构中，取 «仅在单个因子上活动» 的元素，m(G) 可低到 Θ(bk−1) = Θ(n/b)；随因子数 k 增大、基度 b 取小，谱系 «m/n» 无共同正下界——最优统一常数被因子谱卡死，这正是各型常数无法合流的机制。□
进展与文献
Jordan 1870s 原始判据；Bochert、Marggraff 的经典极小度界；Maróti 2002（本原群阶数界的现代定版）；Liebeck–Pyber（极小度与阶的互译谱系）；Guralnick–Saxl（几乎单型的极小度表）。O′Nan–Scott 定理（CFSG 的置换群组织框架）见 Cameron《Permutation Groups》。与本册问题 13（单群分类）、35 号（特征标谱）同属 «CFSG 之后的精细化 » 工程；统一最优常数被认为需要 «扭曲型因子谱 » 的新组合处理。