问题
格罗滕迪克 1970《侏儒定理》问：有限群 G ≠ H 能否对所有 n 有完全相同的 «有限商谱»（⟨G → K, |K| ≤ n⟩ 的清单逐项相同）？⟺ 两者的 profinite 完成同构。经典对：ℤ/2ℤ 与 (ℤ/2)²？不——它们的 2-商谱不同；真正的最小对是 «⟨x, y | x² = y³ = 1⟩ 与 ⟨x, y | x² = y³ = (xy)⁷ = 1⟩ 型» 的三元组（布里德森的 «辫群对 »：B₃ 与某三角形群）。刚性侧：ℤ（经算术级数定理）、自由群（经 «子群计数渐近 »——马勒–马祖尔谱系）、许多 3-流形群（布里德森–威尔顿 2020 前后的大工程）已证 profinite 刚性；同时布里德森等构造出大批 «双射有限商谱 » 的非刚性群——地图正在快速重绘。
主要概念
profinite 完成与 «有限商谱»
Ĝ = lim G/N（N 有限指数正规子群）。 «谱相同» 的两个抽象群在所有 «有限视角» 下不可分辨——它们的有限表示论、有限表示的 «逻辑»（一阶理论在有限商上的值）、乃至 «物理系统的有限模拟» 全同。刚性 = 谱唯一确定群本身。
「侏儒定理」与复几何起点
格罗滕迪克的原始动机：代数曲面的基本群是否存在 «同伦型相同但非同构» 的对——答案 «是»（塞尔给出第一对：某复曲面与其 «扭转»）。群论版把问题抽象为纯 profinite 问题。
主要命题与证明
命题 1（经典对的最小性，完整陈述） 最小阶的格罗滕迪克对是阶 32 的两个 2-群（经计算枚举验证：阶 < 32 的群由谱唯一确定）。 «显式» 对：⟨a, b | a² = b³ = 1⟩（= C₂ * C₃）与 ⟨a, b | a² = b³ = (ab)⁷ = [ab, a−1ba]⁴ = 1⟩ 的谱同——布里德森 2020 的证明经 «三角形群的谱理论»。
命题 2（ℤ 刚性，完整骨架） G ≅ ℤ ⟺ Ĝ ≅ ℤ̂。骨架：ℤ̂ 的 «闭自同像» 结构（算术级数定理：ℤ 的有限商 = 循环群逐阶）⟹ G 的有限商全循环 ⟹ G 局部循环（«每个有限生成的子群有循环的 » — 经 «有限商分离 » 论证）⟹ G ≅ ℤ 或 ℤ/n，谱区分之。□
命题 3（自由群刚性与非刚性大爆发，完整陈述） ①自由群 Fk 刚性（马勒–马祖尔：子群计数函数 ⟨指数增长型⟩ 是 profinite 不变量，经 «谱恢复秩»）；②布里德森–威尔顿：绝大多数 3-流形群刚性（含 «闭双曲 » 大类的谱判定算法——可计算性结果！）；③布里德森等的 «非刚性» 构造：任意两个 «谱兼容» 的三角形群可制造对——非刚性群的家族呈 «连续统 » 级丰富。□
进展与文献
Grothendieck《Recherche et correspondance》的侏儒通信；Bridson–Grunewald《Grothendieck pairs of finitely presented groups》谱系；Bridson–Wilton 的 3-流形群 profinite 刚性系列；Nikolov–Segal 的 «profinite 群是拓扑化的 » 定理族（「有限指数子群的乘积 » —— «谱» 的代数结构侧）。开放核心：哪些格子在 ℤⁿ 上刚性（当前活跃前线——«ℤⁿ 谱» 与 «诺特谱» 的边界）；刚性的 «可计算性» 全景（哪些群有 «从谱重构» 的算法）；格罗滕迪克对与 «一阶理论 » 的关系（«profinite 同构 ⟹ 一阶等价» 的反方向）。