问题
格罗莫夫 1987 年创立双曲群理论时提出的 «验收题»：负曲率组合群是否都 «算术友好»（剩余有限）？它是 «虚拟哈肯 ⟹ 双曲 3-流形群剩余有限» 的无限维推广，也是同调双填充纲领（Bartels–Lück–Weinberger 框架）的推论候选。地形要分两半说：有挠世界已有反例——奥尔什基扬斯基怪物是双曲群（大指数周期 + 高阶小消去），而它是无限单群，非剩余有限（见命题 3 的完整论证）；无挠世界则完全开放：没有任何已知的非剩余有限无挠双曲群，也无证明。故当代口径把猜想收窄为：无挠双曲群都剩余有限？
主要概念
双曲性与德恩算法
细三角形条件 ⟺ 线性德恩函数 ⟺ 类小消去。剩余有限性与其正交：双曲性管 «算法»，剩余有限管 «有限商的丰度»。
同调双填充
«双曲群的万有覆盖的同调由边界填充» 型猜想族；若对 G 成立，则 G 的线性表示与剩余有限性获得 «几何隧道»。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 有限生成的自由群剩余有限。
证明 路一（线性）：自由群 F(a1,…,am) 嵌入 F₂（尼尔森–施赖尔：⟨a, bab−1, …, bm−1ab−(m−1)⟩ 在 F₂ 内自由），而 F₂ 嵌入 GL(2,ℤ)（萨诺夫：a ↦ (1 2; 0 1)，b ↦ (1 0; 2 1)，忠实性由 Ping-Pong 引理论证——两个半平面在乘法作用下不相交地游走）。fg 线性 ⟹ 剩余有限（问题 06 命题 1）。□
命题 2（已知成立的大类，完整陈述） ①双曲曲面上格子群（Fuchsian 群）剩余有限（线性于 PSL(2,ℝ)）。②虚拟特殊化的双曲群（含全部已知 «几何来源» 的双曲群）。③随机群小密度区域的情形（«随机双曲群几乎虚拟特殊» 型的部分结果——Osin 与后续的进展方向）。④顶点群剩余有限的图群（复形群）的若干层级。□
命题 3（塔尔斯基怪物：单性 ⟹ 非剩余有限，完整证明） 存在无限双曲周期群（塔尔斯基怪物型）非剩余有限：其全部真子群均为 p 阶循环（p 为大奇素数），由此可证它是单群，而无限单群没有非平凡有限商，故不剩余有限。
证明 单性：设 N ⊴ G 非平凡，取非单位元 x ∈ N。情形一：存在共轭使 ⟨g−1xg⟩ ≠ ⟨x⟩。两个 p 阶子群要么相等要么交平凡，此处不等，故 ⟨x⟩ ∩ ⟨g−1xg⟩ = 1，二者生成的群非循环（循环群的 p 阶子群唯一），于是它是 G 本身；而 N 正规，包含 x 的一切共轭，故该生成群含于 N，得 N = G。情形二：⟨x⟩ 的一切共轭都等于它自身，则 ⟨x⟩ 正规。取 y ∉ ⟨x⟩，则 ⟨y⟩⟨x⟩ 是含 ⟨x⟩ 的子群；若它等于 G，则 G 有限（阶 ≤ p²），矛盾；故它真，由怪物质性它循环，阶 p——但它同时含 x 与 y，与 y ∉ ⟨x⟩ 矛盾。故任何非平凡正规子群都等于 G，G 单。再证非剩余有限：若 G 剩余有限，取非单位元 z，存在有限商使 z 的像非单位，该商非平凡；而单群的商只有平凡商与自身，自身无限非有限——矛盾。故 G 非剩余有限。□
怪物的教训：«双曲 + 周期» 世界已藏着非剩余有限对象（单性封死有限商），故当代问题只问 «无挠双曲群»；怪物的子群结构太 «平»（全为 p 阶循环），对 «结构丰富的无挠双曲群» 没有直接启示——剩余有限性在无挠双曲世界里是否自动成立，正是悬而未决的核心。
进展与文献
Gromov《Hyperbolic Groups》(1987) 的 §8 提问；Wise–Agol 机器；Wilton–Zalesskii 的 3-流形群双曲剩余有限性（profinite 树方法）。前沿：«随机双曲群的剩余有限性»（密度模型中概率 1 的判别——2020s 的部分结果支持 «是»）；«同调双填充 ⟹ 剩余有限» 的逻辑链（Bartels–Lück 的装配代数路线）尚差关键一步。本问与问题 41（法雷尔–琼斯）、44（粗几何）共享 «几何 ⟹ 有限性» 的底层哲学。