问题
群 G（有限表现）的共轭问题：判定任意两给定字是否共轭。德恩 1911 年提出三大判定问题（字、共轭、同构），共轭居中且最深：字问题可解的群共轭问题可不解（米勒构造：字问题可解、共轭问题不可解的有限表现群存在）。本问：共轭可判定性的群类谱——双曲群（可，命题 2）、广义双曲、一关系群、自动机群——与不可解的边界。
主要概念
德恩算法与双曲性
双曲群的定义性等价之一：存在 Dehn 表现——任何非平凡既约字含 «超过某关系一半» 的子段，可用该关系的补段替换（字长严格缩短）。这给出字问题的线性时间算法；共轭问题则需要 «短共轭子» 定理：共轭的两元素之间存在长度受控的共轭子。
扭转与共轭增长
双曲群中元素的共轭类有 «扭转不变量»：翻译长度 ‖g‖ = lim ‖gnx−1x‖/n 是共轭不变量， «扭转»（沿双曲元素的轴滑动）是共轭类的参数化骨架——双曲群的共轭类由 «短代表 + 扭转» 双重结构组织，这正是算法的几何基础。
主要命题与证明
命题 1（双曲群的德恩算法，完整骨架） 双曲群有 Dehn 表现，从而字问题可解。
骨架 ①双曲 ⟹ 线性等周：面积 ≤ C·周长（薄三角形拼装）。②零伦圆盘的面积由 «面片» 计数：每个面片边界 = 关系（的循环），周长 C·面积 ⟹ 面片数 ≤ C·ℓ，由鸽笼原理必有 «周长比面积小» 的面片——其边界大部分贴着外周：给出 «长超过关系一半的子段»。③取有限多个 such 面片（长 ≤ 某常数的关系有限截断）作 Dehn 表现；替换算法每步字长严格缩短，必终止于平凡字 ⟺ 原字平凡。□
命题 2（双曲群共轭问题可解，完整骨架） 双曲群的共轭问题可解（格罗莫夫；德赞的定量版）。
骨架 核心＝短共轭子定理：若 g, h 共轭（g = xhx−1）且 g, h 是循环既约的，则存在共轭子 x 满足 |x| ≤ 2|g| + 2|h| + C 或 g（从而 h）与 «扭转» 结构相关。机制：x 极短化后，路径 [1, x] 与 [x, xh] 拼出 «从 g 的轨道到自身» 的四边形；双曲性（薄四边形）使其对角线受控 ⟹ x 或 «绕轴滑动» 的短补偿。算法：用德恩算法先化 g, h 为循环既约形，再穷举 |x| ≤ 2|g|+2|h|+C 的候选共轭子逐个验算——有限搜索必终止。□
命题 3（不可解谱系与广义双曲，完整陈述） ①存在有限表现群共轭问题不可解（米勒 1971；甚至字问题可解者亦有——米勒构造、柯林斯–米勒精化）；②广义双曲（相对双曲）群在 «适当形式 » 下共轭问题可解：字问题可解 + 抛物结构可计算的类（法里陪集可控）逐一建立；③剩余有限群共轭问题不可解的例子亦存在（经米勒型构造与剩余有限化的联合）。
梗概 ①的机制＝从图灵机到群的编码：把停机问题的实例编码为 «两元素是否共轭»，德恩–米勒–博里温路线的模块化拼装。②的关键：相对双曲群里共轭可 «沿抛物子群分解»：非抛物部分的双曲机制（命题 2）+ 抛物部分的 «法里算术»（可判定情形逐一验证）；卡在 «抛物融合不可计算» 的例子给出可判定性恰好的失效点。□
进展与文献
Dehn 1911（三问题）；Gromov《Hyperbolic Groups》§8（算法章节）；Delzant 1996（短共轭子的定量骨架）；Miller 1971（不可解谱系的开山）；Collins–Miller（判定问题的度谱）；Farb（相对双曲的定义与算法框架）；Osin（广义双曲的代数机器）。一关系群的共轭问题（与本册问题 04 联动）：字问题已解（马格努斯），共轭问题 开放——它是本问谱系上最亮的一格空位；自动机群的共轭问题（格里戈丘克群）已知可解但 «统一算法» 缺。共轭增长、扭转不变量与 «共轭可分离性 »（虚方向，见问题 38）是活跃的接口。