问题
群 G 霍普夫：每个满自同态 G → G 都是自同构（等价地：满自同态的核平凡）。对偶概念 共霍普夫：单射自同态必满。本问：①有限表现群的霍普夫性是否可判定？②非霍普夫有限表现群的结构谱（最小表现复杂度、与双曲性的相容边界）。
主要概念
霍普夫性的位置
霍普夫性是 «自相似不自噬» 的代数化：满自同态 «收缩 » 群而不丢信息。它与剩余有限性、可解字问题、双曲性交织：剩余有限保证霍普夫（马尔采夫），双曲群霍普夫（经可解字问题的另一路线），而 «霍普夫 ⟹ 可判定?» 是反方向的深水区。
布利顿引理
HNN 扩张 G = ⟨B, t | tAt−1 = φ(A)⟩ 的字问题是可解的：既约字（无 «钳形 » 子字 tat−1（a ∈ A）或反向钳形）非平凡；平凡性 ⟺ 可经钳形消去归约到 B 中字。这是鲍姆斯拉格–所利塔群一切显式论证的引擎。
主要命题与证明
命题 1（马尔采夫定理，完整证明） 有限生成的剩余有限群是霍普夫群。
证明 设 G 有限生成、剩余有限，φ: G → G 满同态。反设核含 1 ≠ g。因 G 剩余有限，存在有限群 F 与同态 θ: G → F 使 θ(g) ≠ 1。关键引理：G 有限生成 ⟹ Hom(G, F) 有限（F 中取生成元像，至多 |F|d 个，d 为 G 生成元数）。φ 满射给出单射 Hom(G,F) → Hom(G,F)，ψ ↦ ψ∘φ（若 ψ∘φ = ψ′∘φ 而 φ 满，则 ψ = ψ′）。有限集上的单射是双射，故 θ = θ∘φk 对某 k ≥ 1（迭代落在有限集内必循环）。于是 θ(g) = θ(φk(g)) = θ(1) = 1（g ∈ ker φ ⟹ φk(g) = 1），与 θ(g) ≠ 1 矛盾。□
命题 2（BS(2,3) 非霍普夫，完整论证） G = ⟨a, t | ta²t−1 = a³⟩ 是有限表现的 非霍普夫群：φ(a) = a², φ(t) = t 是满自同态而核非平凡。
证明 ①φ 是自同态：需验关系在 φ 下保持：φ(ta²t−1) = ta⁴t−1。在 G 中 ta2kt−1 = a3k（关系两边乘方），取 k = 2：ta⁴t−1 = a⁶ = φ(a³) ✓。②φ 满：a³ = φ(tat−1)（因 φ(tat−1) = ta²t−1 = a³），而 a = a³·(a²)−1 = φ(tat−1a−1)；t = φ(t)。生成元全在像中。③核非平凡：由布利顿引理，字 w = a−1tat−1a−1tat−1a−1 非平凡——它不含钳形子字（tat−1 的中段指数 1 不被 2 整除；t−1a−1t 的中段指数 −1 不被 3 整除），而 HNN 表现的基群 ⟨a⟩ ≅ ℤ 无挠、字含 t 字母且既约，故 w ≠ 1。但 φ(w) = a−2ta²t−1a−2ta²t−1a−2：经钳形 ta²t−1 → a³ 消去两次，得 a−2+3−2+3−2 = a⁰ = 1。故 1 ≠ w ∈ ker φ，φ 非单。□
命题 3（双曲群霍普夫，严格梗概） 双曲群霍普夫：满自同态由 «拟测地像» 论证控制——非单性会制造 «无限短回路的测地四边形»，与双曲性的薄三角形条件矛盾。等价路线：双曲群的字问题可解（问题 32 命题 1）+ 满自同态的核可 «半判定 »，配合共系论证收口。
梗概 设 φ 满、1 ≠ g ∈ ker φ。在凯莱图上，φ 把字等价类映到字等价类且 «保持字的测地性至线性误差»（满自同态是 «向下的拟等距» 的代数影子）。取 g 的最短代表 w（长 ℓ）：φ(w) = 1 给出长 ℓ 的零伦字；双曲性的线性等周不等式说零伦字可被长 ≤ C·ℓ 的 «关系拼接 » 消解；而 φ 把这些拼接关系拉回，构造出长度严格递减的非平凡零伦链——无穷下降与字问题可解性矛盾。□
进展与文献
Mal'cev 1940s（命题 1）；Baumslag–Solitar 1962（BS 族与非霍普夫范式）；布利顿引理见 Lyndon–Schupp《Combinatorial Group Theory》；Gromov–Delzant《Sous-groupes distingus»（双曲群正规结构）。开放核心：①霍普夫性的可判定性——«给定有限表现，判定是否霍普夫» 一般不可解的猜想仍无完整证明；②非霍普夫群的最小表现复杂度（两生成几关系即可？BS(2,3) 用 2 生成 1 关系已是极限候选）；③双曲边界：«双曲 + 完备 ⇒ 霍普夫» 已知，而 «近双曲»（相对双曲）世界的霍普夫谱在系统整理中。与本册问题 06（剩余有限）、32 号（共轭问题谱）构成 «可判定性三角 »。