问题
对每个模 q 的 Dirichlet 特征 χ，其 L 函数 L(s,χ) = Σ χ(n)n−s 的全部非平凡零点都满足 Re s = 1/2。GRH 是 RH 向整族 L 函数的推广；由于大量条件性定理以它为前提，它在应用中的出现频率甚至高于 RH 本身。
主要概念
Dirichlet 特征
模 q 的特征是从 ℤ 到 ℂ 的周期函数 χ，满足：①周期 q；②在 gcd(n,q)>1 时取 0，否则取模 q 单位群的群特征值（完全积性）；③χ(1)=1。主特征 χ₀ 在与 q 互素处恒取 1。全体特征构成 φ(q) 元的群。
Dirichlet L 函数
L(s,χ) = Σn≥1 χ(n)n−s = ∏p(1−χ(p)p−s)−1（σ>1，欧拉乘积）。主特征对应 ζ 去掉 q 的素因子；非主特征处处解析。每个 L(s,χ) 有与 ζ 同型的函数方程与临界带。
算术级数中的素数计数
ψ(x;q,a) = Σn≤x, n≡a (mod q) log n。GRH 等价于对一切 q、a 有 ψ(x;q,a) = x/φ(q) + O(√x log²(xq))——素数在每条算术级数上「像洗过的牌一样均匀」。
主要命题与证明
命题 1（特征正交性） 对非主特征 χ，Σn=1q χ(n) = 0；而对主特征该和为 φ(q)。这是「从混合序列中筛出单一等差类」的代数核心。
证明 χ(n) 周期为 q，故对与 q 互素的任意 a，Σnχ(n) = Σnχ(an) = χ(a)Σnχ(n)（换元 n↦an 只是遍历同一组剩余类）。若 χ ≠ χ₀，取 a 使 χ(a) ≠ 1（存在：否则 χ 在单位群上恒为 1，即主特征），得 (1−χ(a))Σ = 0，故 Σ = 0。主特征情形直接求和。□
命题 2（Dirichlet，1837；证明梗概） 若 gcd(a,q) = 1，则算术级数 a mod q 中有无穷多个素数。
证明梗概 对 σ>1 取对数：log L(s,χ) = Σpχ(p)p−s + O(1)。以正交性（命题 1）对全体特征加权求和，χ(p) 的贡献叠加成指示函数：只有 p ≡ a (mod q) 的素数存活，得 Σp≡a p−s = (1/φ(q))Σχ χ(a−1) log L(s,χ) + O(1)。主特征项在 s→1+ 时发散（L(s,χ₀) = ∏p∤q(1−p−σ)−1 ~ cq/(σ−1)，其中 cq = ∏p|q(1−1/p) ≠ 0），其余项须有界——其关键是 L(1,χ) ≠ 0 对一切非主 χ 成立（Dirichlet 用类数公式证明实特征的情形，复特征由 Σχ·log 的论证处理）。于是 Σp≡a p−σ 在 σ→1+ 发散，级数有无穷多项。□
命题 3（GRH 的经典推论，陈述） 在 GRH 下：①对每个与 q 互素的 a，存在 p ≡ a (mod q) 满足 p ≪ q2(log q)2；②最小非二次剩余 mod p 为 O(log²p)；③ψ(x;q,a) 的均匀分布误差如「概念」节所示。
注 ①②的证明均归结为：显式公式把「特征和的异常」翻译为「靠近 1 的 L 函数零点」，GRH 剪除这些异常。③的推导与问题 01 命题 3 同型，逐特征实施。□
进展与文献
GRH 与 RH 的逻辑关系尚不明朗：主特征的 ζ 部分与一族非主 L 函数的零点并无已知的强制联系，即使 RH 获证，GRH 仍是独立的一步。无条件结果方面，Bombieri–Vinogradov 定理（见问题 06）在「均值意义」上部分兑现了 GRH 的均匀性，是当代筛法的引擎。文献：Davenport《Multiplicative Number Theory》；Iwaniec–Kowalski《Analytic Number Theory》。