数论中的 50 个公开问题

ζ 函数的非平凡零点全部落在直线 s = 1/2 + it 上（实部恰为 1/2）。

现状1859 年提出。已验证最初的约 10¹³ 个零点全部在临界线上；与素数定理误差项的精确阶等价，是整个解析数论的中心 conjecture。任何非零实部的反例都会立刻改写素数分布图景。

所有狄利克雷 L 函数（乃至更一般的自守 L 函数）的非平凡零点都在临界线上。

现状GRH 的推论众多：最小的非二次剩余、原根的存在范围、素数在算术级数中的均匀分布等都有条件结果。即使 RH 获证，GRH 仍是独立的一步。

ζ 函数的非平凡零点都是单零点（没有重根）。

现状与「100% 的零点在临界线上」一类密度结果相容；Levinson–Conrey 方法已证明超过 40% 的零点在临界线上且其中多为单零点。重零点若存在，将动摇许多以「简单零点」为前提的显式公式。

对任意 ε>0，ζ(1/2+it) = O(|t|^ε)。

现状比 RH 更强的「凸性界」已被 t 的次指数方法推进（指数从 1/4 降到约 0.05 附近），但与 ε 之间仍有本质距离。它等价于一族 L 函数在临界线上的统一次凸性。

对任意一组线性型 an+b（i=1,…,k），若无局部障碍，则使它们同时取素数的 n 渐近密度由一个显式常数（奇异级数）给出。

现状孪生素数猜想只是 k=2 的特例。Maynard–Tao 的方法证明了「存在某个有限间隔内有无穷多素数」，但对指定的间隔仍无能为力；k 元组猜想的任何非平凡特例都未获证。

素数在模 q 的算术级数上的分布误差，在均值意义下可以从模数 ≤x 推广到 ≤x^1−ε（均匀分布到几乎平方根水平）。

现状Zhang 2013 突破与 Maynard–Tao 的有界素数间隔，正是在「部分型 EH」假设下做到的；目前水平的整数 θ 已知可超过 1/2，但 EH 本身（θ=1）远未触及。它与孪生素数的关系是这一方向的核心路标。

差为 2 的素数对有无穷多对。

现状2013 年张益唐证明「存在间隔 N（约 7×10⁷）使素数对无穷多」，经 Polymath8 与 Maynard 改进到 N≤246。从 246 到 2 的最后一步需要 k 元组/EH 层面的新思想。

每个偶数 2k 都作为相邻素数的间隙出现无穷多次。

现状孪生素数（k=1）之外的所有偶数情形全部未证。Pintz 证明存在某个具体偶数间隔使间隙无穷多（不知道是哪一个偶数），这是目前最强的无条件结果之一。

相邻两个完全平方数 n² 与 (n+1)² 之间总存在素数。

现状等价于「间隙 p_n+1−p_n = O(√p)」。已知最好的间隙上界（Baker–Harman–Pintz 的 x^0.525 量级，后被 Prime Gap 系列微调）恰好卡在 0.5 之上，差之毫厘。

对每个 n>1，区间 (n², n(n+1)) 与 (n(n+1), (n+1)²) 各含至少一个素数。

现状比勒让德稍强的对称版本，同样悬而未决；它与「素数计数函数 π 在平方点上的单调分段性」直接相连。

相邻素数 p_n, p_n+1 满足 √p_n+1 − √p_n < 1。

现状与 Cramér 型间隙估计同源；数值上对已知最大间隙远为满足，但对一切 n 无证明。它蕴含勒让德猜想。

相邻素数间隙 p_n+1−p_n = O((log p_n)²)。

现状来自 Cramér 1936 的概率模型。Granville 指出考虑小素数后的精细模型预测常数应为 2e^−γ≈1.12 倍，对已知数据拟合更好——这一分歧本身也是未决问题。目前无条件最好界仍是次幂量级。

把素数序列相邻作差取绝对值，再对差序列反复作同样的差，每层首项都是 1。

现状1958 年提出，逐层计算到天文数字仍成立；Odlyzko 等人做过大规模验证。连「前 10¹⁰ 层成立」这类部分结果都需要精心设计，一般证明毫无头绪。

整系数多项式 f 若不可约、无固定素因子且取正值无穷多次，则 f(n) 取素值无穷多次。

现状n²+1 是否取无穷多素值是其中最著名的特例，目前连「有一个素值之外的无穷多伪素值近似」都做不到。与 Bateman–Horn 猜想互为表里。

一组不可约且无局部障碍的多项式同时取素值无穷多次，且渐近密度由显式常数给出（H 猜想；Bateman–Horn 进一步给出精确渐近公式）。

现状是 k 元组猜想的「多项式版」。仅当多项式个数不多或退化情形（如 n+b）才有部分结果；一般情形连一个可用的无条件下界都没有。

形如 2^p−1（p 素数）的梅森素数有无穷多个。

现状Lenstra–Pomerance–Wagstaff 猜想给出其个数渐近 e^γlog₂log₂x/log 2 量级；迄今发现 50 多个，最大者逾千万位。连「梅森数互素的概率模型」都只是启发式。

形如 2²ⁿ+1 的费马数中，除 n=0,…,4 的五个已知素数外，其余全是合数？还是另有素数？

现状n=5 到 32（乃至更大）均已被证明为合数；没有人知道第 6 个费马素数是否存在，也不知道合数性是否最终全覆盖。欧拉当年的部分因子分解技巧此后几无实质推进。

对互素正整数 a+b=c，c 被「根积」rad(abc) 的任意大于 1 次幂支配（对每个 ε>0 只有有限多个例外）。

现状望月新一 2012 年宣布的 Inter-universal Teichmüller 理论证明至今存有根本争议，数学界未普遍接受。abc 蕴含费马大定理的渐近加强版、Pillai 等一大片结果，被称为「已经解决一半的数论」。

半稳定椭圆曲线 y²=x³+ax+b 的判别式被 |a|³+|b|² 的 6+ε 次幂支配。

现状与 abc 猜想关系密切（Szpiro 蕴含 abc 的一个变形）；法尔廷斯与 Vojta 的框架给出几何解释，但没有一条已确立的证明路径。

若 A^x+B^y=C^z（x,y,z>2），则 A,B,C 必有公共素因子。

现状是费马大定理的「允许公共因子」推广；任何指数情形的完整解都没有。已知无穷多族「近反例」（差极小的互素幂），与 Fermat–Catalan 互为补充。

方程 A^x+B^y=C^z（指数和 1/x+1/y+1/z<1，互素）只有有限多组解。

现状卡塔兰定理（8+9=3²+2³ 唯一）对应指数和恰为 1 的边界情形；指数和<1 时连「有限性」都未证。达布洛与格兰维尔的 abc 条件结果给出「若 abc 成立则至多 10 组」。

两个高于一次的幂之差的绝对值趋于无穷，且每个给定值 |a^x−b^y|=k 只有有限多组解。

现状第一部分（差→∞）已由 Tijdeman 借助超越数论证明；第二部分「每个 k 有限多解」至今未证，连 k=1 的一般情形也未完全解决（有限性已知，精确解组未穷尽）。

每个整数 n≥2 都有 4/n = 1/x+1/y+1/z 的正整数解。

现状Elsholtz 等把需要检查的 n 压到指数级稀疏的集合，并大量数值验证到极大范围；对一般 n 无任何整体思路。它与「素数模情形」4/p 的一支（已由 Mordell 型结果解决一半）共同构成埃及分数的中心难题。

1^k+2^k+⋯+(m−1)^k = m^k 是否只有唯一解 1+2=3？

现状1960 年提出。已知 m 若存在则 >10¹⁰ 且 k≥5；Moree 等用初等+计算手段排除了大量 k。连「k 固定时解有限」都依赖深结果。

从任意正整数出发，反复施行「奇则 3n+1、偶则除以 2」，最终必回到 1。

现状已验证到约 2⁶⁸。Conway 证明「这一类迭代问题的整体行为是不可判定的」，暗示一般方法可能不存在；Tao 2019 证明「几乎所有轨道都达到远小于起点的值」，是迄今最强的密度型结果，但离猜想本体极远。

是否存在一个长方体，其三条棱、三个面对角线与体对角线全部是有理数（甚至整数）？

现状「有理完美盒」与「整数完美盒」都未解决；已知三条棱与面对角线全为整数（欧拉砖）的无穷多族，如 44、117、240。体对角线的要求把它与一类高亏格椭圆曲线的判别问题绑在一起。

n!+1 = m² 是否只有 n=4,5,7 三组解？

现状1885 年提出。已知第四组解若存在则 n>10⁹；Berndt 等给出条件结果（若 abc 成立则解有限）。问题与 Wilson 定理的加强形式相连，无有效进攻手段。

是否存在奇数的完全数（等于自身真因子之和）？

现状欧几里得–欧拉定理已把偶完全数完全刻画为 2^p−1(2^p−1)；奇完全数已知必有至少 9 个不同素因子、超过 1500 位、且 ≡1 mod 12 等大量「负性」限制，包围圈越收越紧却没有出口。

即梅森素数是否有无穷多个（与问题 16 等价，此处强调其完全数意义）。

现状自欧几里得以来没有实质进展；偶完全数与梅森素数一一对应，两个问题同生共死。

彼此等于对方真因子之和的数对（如 220 与 284）是否有无穷多对？

现状爱多士证明相亲数对的计数至少有 x/log log x 量级，因此「密度为零才可能没有无穷多」——但无穷多本身仍未证明。另一个未解问题是：奇数相亲数对是否存在？迄今一个也没找到，数值搜索已排除到极大范围。

每个正整数的「真因子和」迭代链要么终止于 1 或完全数，要么进入周期轨道——不会发散到无穷。

现状276 的链已算出超过两千位仍未闭合，是 aliquot 序列的著名「难缠者」；Catalan–Dickson 猜想预测所有链有界，Lenstra 证明该猜想在一般形式下可能需要非常新的思想（存在条件发散的类似现象）。

由 a₁=2、a_n+1 = a₁⋯a_n+1 的最小素因子定义的序列，是否包含全部素数？

现状Mullin 1963 年提出；已验证 2,3,7,43,13,53,…。「单调版」（总取最小）与「任意取因子版」是否都覆盖所有素数，均未解决；连 11 是否出现都曾长期悬置。

前 n 个素数之积加 1（p₁⋯p_n+1）是否总无平方因子？

现状等价于「初等证明给出的素数两两互素且更强」。已知对极多 n 成立；若有平方因子，其素数 p 满足 p² | P_n+1，这类 p 的存在性未决。与 Wieferich 型现象相关。

调和级数与 log n 之差的极限 γ ≈ 0.5772… 是否无理？

现状连有理性都未排除，更不必说超越性。若 γ 是有理数，其分母将超过 10²⁴²⁰⁸⁰（Papanikolaou 的计算界）。这是「最容易陈述的未解常数问题」之一。

交错四级数 G = Σ(−1)ⁿ/(2n+1)² ≈ 0.9159… 是否无理？

现状与 β(2)（狄利克雷 β 函数在 2 处的值）相同；所有已知手段（Apéry 型级数、Beukers 积分）都只对奇ζ值或特定 β 值有效，β(2) 恰在盲区。

ζ 在奇整数 ≥5 处的值是否无理？（ζ(3) 已由 Apéry 1978 解决）

现状Rivoal、Ball–Rivoal 证明「ζ(2n+1) 中有无穷多个无理数」以及「前若干个奇值中至少一个无理」类结果，但指定 ζ(5) 无理至今无证。Zudilin 证明 ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11) 中至少一个无理。

对任意复数 z₁,…,z_n，域 ℚ(z₁,…,z_n, e^z₁,…,e^z_n) 的超越次数至少为 n。

现状超越数论的「大统一猜想」：蕴含四指数猜想、许多代数无关性结果（如 e 与 π 的代数无关性的相当部分）。n=1 就是林德曼–魏尔斯特拉斯定理，n=2 已经全部未证。

常数 e+π 与 eπ 的无理性均未证明（它们的代数无关性更是遥不可及）。

现状已知 e^π（格尔丰德常数）超越；eπ、e+π、π^e、π^√2、e^e 等的超越性全部未证。至少 e+π 与 eπ 中有一个无理（因为 e,π 是 x²−(e+π)x+eπ 的根），这一句话就是目前全部的家底。

椭圆曲线 L 函数在 s=1 处的零点阶等于其有理点群（Mordell–Weil 群）的秩，且主导系数由塔特–香格之类的显式公式给出。

现状秩 0 与秩 1 的平均情形已有重大进展（Bhargava–Shankar 的秩平均有限性等），但对单条曲线的一般秩仍未证。它与希尔伯特第十问题的系数版等价，是算术几何的十字路口。

在复平面上，把高斯素数视为格点，是否存在一条有限步长（如每步 <√26）的无限链，通往任意远？

现状即著名的 Gaussian moat 问题（Bounded Gap 定理的复数版）。数值实验显示沼泽似乎不存在，但对任何固定步长都没有证明。与高斯素数在高斯平面的分布均匀性直接相关。

把 abc 猜想推广到高维：代数簇上的整点个数受其亏格与边界除子的「根积」支配（本质上，超越度增加意味着方程组更容易出现整点）。

现状蕴含费马–卡塔兰、Pillai 等一大片问题；在曲线上退化为 Mordell 猜想（法尔廷斯已证）与 abc。一般形式只有零星特例（如子空间的定理），没有任何完整路线图。

整数系数多项式的马勒测度 M(f) 要么为 1，要么 ≥ 约 1.176（莱默常数）？即马勒测度是否有正下界？

现状Dobrowolski 给出随次数衰减的下界，但与常数下界之间距离巨大。莱默常数对应的动力系统熵是否被有理多项式实现，是算术动力学与遍历论的接口。

对椭圆曲线 y² = x³ + k（k 为整数），量 |√k − ∛(n/4)|（n 为近旁整数的平方项）随 k 增长的衰减速度比 1/4 次幂更慢至多一个对数因子。

现状Hall 猜测最佳指数是 1/2−ε 型；已知反例给出 1/4 以上的下降率不可达，且「接近反例」的构造（Danilov、Elkies 的例子）表明指数 1/4 是现实的下界。与 Mordell 方程的解界直接等价。

满足 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) 的素数 p（维费里希素数，已知 1093 与 3511）是否无穷多个？对每个底 a 呢？

现状概率模型预测有无穷多个且密度约 log log 级，但搜索到 6.7×10¹⁵ 仍只找到这两个。第二类维费里希素数（与费马商二阶项相关）连一个都没找到。

若 n 是合数，φ(n) 是否必不能整除 n−1？（即「卡迈克尔数的欧拉版」不存在）

现状Lehmer 1932 年提出。已知这样的 n 若存在必有至少 15 个不同素因子且为奇数；卡迈克尔数的存在（1994 年已证无穷多）使此问题格外耐人寻味——乘法结构允许，指数结构似乎不允许。

整数 n>1 是素数当且仅当 n·B_n−1 ≡ −1 (mod n)（B 为伯努利数）。

现状「仅当」方向已被 Kellner 证明对合数至多差一个可除性因子；完整的双向刻画等价于「吉乌加数的非存在性」。它与威尔逊定理的伯努利版本相关，是伯努利数算术的中心问题。

虚二次域的类群在固定秩下按二次双曲型群的「权重」分布——这一经验启发式能否被证明（哪怕对某个具体的族）？

现状与 2 部分类群相关的「genus theory」部分可证，但 Cohen–Lenstra 的一般分布（例如为什么 ℚ(√−d) 的类数 1 恰好 9 个）没有任何证明。它被视为「类域论的概率一面」，任何部分结果都是大新闻。

每个伽罗瓦表示都对应一个自守表示（二者的 L 函数相同）——数域的阿贝尔互反律向非交换世界的推广。

现状一维（类域论）、二维椭圆曲线情形（谷山–志村，经怀尔斯–Taylor–Wiles–Breuil–Conrad–Diamond–Taylor）已证；一般情形的「函子性」与「朗兰兹对偶」只有局部与极少量整体结果（如 Arthur 对经典群的分类）。这是 21 世纪数学的北极星。

能否证明：不存在多项式时间的经典算法分解任意大整数、或解任意模数的离散对数？

现状目前最好的经典算法仍是亚指数的数域筛法；量子算法（Shor）已可多项式求解。复杂度理论的现状（P≠NP 未证）使得「困难性的证明」本身可能超出当前数学能力——RSA 的安全性建立在经验之上。

素数序列在多大程度上表现得像随机序列？是否存在一个公理化框架（如 Chowla 猜想、加性厄米特型猜想），使「素数随机模型」的推论可被证明？

现状Chowla 猜想（李雅普诺夫相关函数的渐近）只有微不足道的情形被证明；Huang 的「加性厄米特」方法给出局部对偶框架。它与 RH、EH 一起构成解析数论的三大支柱愿景，任何一块的坍塌或确立都会重塑整片地图。