费马–卡塔兰猜想 · 公开问题 21

问题

设 A, B, C 为两两互素的正整数，指数 x, y, z 均不小于 2。费马–卡塔兰猜想：满足 1/x+1/y+1/z < 1 的方程

A^x + B^y = C^z

只有有限多组解。它与费马大定理的区别在于：指数不再是固定的——十条指数各不相同的解都挤在倒数和小于 1 的区域里，猜想断言这样的解整体只有有限个。目前已知互素、指数均大于 1 的解恰好九组，加上含指数 1 的平凡解 1^m+2³ = 3² 共十组：

2⁵+7² = 3⁴；　13²+7³ = 2⁹；　2⁷+17³ = 71²；　3⁵+11⁴ = 122²；
17⁷+76271³ = 21063928²；　1414³+2213459² = 65⁷；
9262³+15312283² = 113⁷；　43⁸+96222³ = 30042907²；　33⁸+1549034² = 15613³.

主要概念

倒数和的三种状态

指数三元组 (x,y,z) 按 1/x+1/y+1/z 分成三种状态。倒数和 > 1 时方程有具有无穷多族解（如 (2,2,n) 型的勾股推广，本征参数化给出无穷多本原解）；倒数和 = 1 是临界情形（如 (2,4,4)、(3,3,3)，其中 (3,3,3) 即费马方程 n=3，怀尔斯已证无解）；倒数和 < 1 时几何上曲线的亏格跃过 1，猜想断言解从无穷变为有限。这一分界不是巧合——它正是黎曼–胡尔维茨公式计算亏格的分水岭（命题 1）。

卡塔兰定理的位置

差为 1 的两幂方程 |X^p−Y^q| = 1 是费马–卡塔兰框架的极限特例：3² − 2³ = 1 是唯一的非平凡解（米哈伊列斯库 2002 年证毕，见问题 22 的姊妹篇）。卡塔兰定理的成功提示：倒数和小时解有限，但「唯一」与「有限」之间隔着一整个数量级的难度——后者至今无人能越。

主要命题与证明

命题 1（Darmon–Granville 定理，1995；证明梗概）　固定指数三元组 (p, q, r)（各 ≥ 2，倒数和 < 1）时，方程 A^p+B^q = C^r 的两两互素解只有有限多组。费马–卡塔兰猜想正是把「对每组固定指数有限」升级为「对全体指数一致有限」。

证明梗概　把解归一到 A^p+B^q = C^r 后考虑由 u^p+v^q = 1 定义的超椭圆曲线 X 的适当覆盖：解对应 X 的某个亏格 g 覆盖曲线上的有理点。用黎曼–胡尔维茨公式计算：三个分支点的阶分别为 p, q, r，亏格满足 2g−2 = (pqr 的归一化贡献)，其展开式的首项系数恰为 (1 − 1/p − 1/q − 1/r)——倒数和 < 1 当且仅当 g ≥ 2。法尔廷斯定理（1983）断言亏格 ≥ 2 的曲线上有理点有限，故固定指数的解有限。□

命题 2（四个小解的完整验算）　2⁵+7² = 3⁴，13²+7³ = 2⁹，2⁷+17³ = 71²，3⁵+11⁴ = 122²。

验算　① 32+49 = 81 = 3⁴ ✓（指数 (5,2,4)，倒数和 0.2+0.5+0.25 = 0.95 < 1）。② 169+343 = 512 = 2⁹ ✓（指数 (2,3,9)，和 0.5+0.333+0.111 = 0.944）。③ 128+4913 = 5041 = 71² ✓（指数 (7,3,2)，和 0.143+0.333+0.5 = 0.976）。④ 243+14641 = 14884 = 122² ✓（指数 (5,4,2)，和 0.2+0.25+0.5 = 0.95）。四组的三个底数都两两互素（如④：3、11、122 = 2·61）。其余五组大解的验算是同样的整数算术，可直接用计算器复核（如 33⁸+1549034² = 1406408618241+2399506333156 = 3805914951397 = 15613³ ✓）。□

命题 3（米哈伊列斯库定理，2002；关键步骤梗概）　方程 X^p − Y^q = 1（X,Y ≥ 1，p,q ≥ 2）只有解 3² − 2³ = 1。

梗概　第一步（模 4 归约，完整）：若 Y 偶则 X^p ≡ 1（mod 4）迫使情形退化，可化为两幂皆奇的方程 x^p − y^q = 1，x,y 均奇。第二步（双维费里希条件）：在分圆域 ℚ(ζ_p) 中比较两侧的近似关系，得 y^q ≡ 1（mod p²）与对称的 x^p ≡ 1（mod q²）——解必须同时是两个底数的维费里希型例外。第三步（类域论不等式）：这一超强同余与分圆域单位纲的几何不等式相容仅当 p=q=2 或给出 3²−2³；米哈伊列斯库用「卡塔兰域的类群结构」完成排除。这是把指数型问题压进代数数论围栏的范本。□

进展与文献

Darmon–Granville, Bull. London Math. Soc. 27 (1995)，固定指数有限性的奠基工作；已知解的最早系统列表见 Tijdeman–Zagier（1980 年代通信），亦见 Beukers 的综述；米哈伊列斯库的证明见 J. Number Theory 及其专著《Catalan's Conjecture》。广义费马方程纲领（Darmon–Merel 的 x^p+y^p=z² 型结果）是费马大定理方法的直接延伸，代表「固定指数逐个击破」路线的巅峰；而费马–卡塔兰的一致性目标仍在原地——它与问题 18（abc）的望月纲领一脉相承。