偶完全数有无穷多个 · 公开问题 29

问题

偶完全数 6, 28, 496, 8128, 33550336, … 由欧几里得–欧拉定理完全刻画：n = 2^p−1(2^p−1)（2^p−1 素数，即梅森素数；完整证明见问题 28 的命题 1）。于是「偶完全数有无穷多个」与「梅森素数有无穷多个」是同一句话——本页从完全数一侧重述这个问题：给出对应的两条素因子刻画（命题 2–3），并完整推导 Wagstaff 启发式（命题 4），它预测梅森素数的增长如 log₂ 的线性函数，至 2024 年人类已找到 52 个。

主要概念

一一对应

欧几里得方向：每个梅森素数 2^p−1 产出偶完全数 2^p−1(2^p−1)；欧拉方向（见问题 28）：每个偶完全数反解出一组 (p, 2^p−1)。映射双方互逆——完全数的世界里没有「孤儿」，但「家族是否代代延续」取决于 2^p−1 的素性，而后者恰恰没有判据能保证无穷次成立。

梅森素数的两道筛选

2^p−1 的素因子受两道刚性约束（命题 2–3）：每个素因子 q ≡ 1 (mod 2p) 且 q ≡ ±1 (mod 8)。两道约束把候选素因子的密度压到极稀，是 Lucas–Lehmer 判据（问题 16 综述已给完整证明）与 Wagstaff 启发式的共同源头。

主要命题与证明

命题 1（等价性；完整证明）　偶完全数有无穷多个当且仅当梅森素数有无穷多个。

证明　由欧几里得–欧拉定理（问题 28 命题 1），n ↦ (2^p−1) 与 (2^p−1) ↦ 2^p−1(2^p−1) 给出两类对象之间的双射：若偶完全数无穷多，则其对应的梅森素数互异且无穷多；反之亦然。□

命题 2（素因子满足 q ≡ 1 (mod 2p)；完整证明）　设 p 为奇素数，q 为整除 2^p−1 的素数，则 q ≡ 1 (mod 2p)。

证明　由 q | 2^p−1 得 2^p ≡ 1 (mod q)，故 2 在 mod q 的阶整除 p。阶不能为 1（否则 2 ≡ 1 (mod q)），故阶恰为 p。而阶整除 q−1（费马小定理的群论形式：ℤ/qℤ 的乘法群阶为 q−1），故 p | q−1。又 2^p−1 为奇数，q 为奇素数，故 q−1 为偶数，2 | q−1。gcd(2p, q−1) 包含 2p？p 与 2 互素且各自整除 q−1，故 2p | q−1，即 q ≡ 1 (mod 2p)。□

命题 3（素因子满足 q ≡ ±1 (mod 8)；完整证明）　同设下 q ≡ ±1 (mod 8)。

证明　由命题 2，q ≡ 1 (mod 2p)，记 t = (q−1)/(2p)（正整数）。计算勒让德符号：2^(q−1)/2 = (2^p)^t ≡ 1^t = 1 (mod q)。由欧拉判据，2^(q−1)/2 ≡ (2/q) (mod q)，故 (2/q) = 1，即 2 是 mod q 的二次剩余。二次剩余判别法给出 (2/q) = (−1)^(q²−1)/8，其为 1 当且仅当 q ≡ ±1 (mod 8)。□

命题 4（Wagstaff 启发式；完整推导）　对奇素数 p，2^p−1 为素数的概率约为 e^γ·log(2p)/(p log 2)；据此梅森素数的个数（按指数 p ≤ x 计）约为 (e^γ/log 2)·log x ≈ 2.57·log₂x。

推导　朴素估计：一个 p 位二进制数 2^p−1 为素数的概率约 1/log(2^p) = 1/(p log 2)。修正：命题 2–3 表明 2^p−1 若含素因子，因子只能落在模 2p 余 1 且模 8 余 ±1 的类里——素数在这些「允许类」中的分布密度为 (log 级修正) ∏_允许类(1−1/q)⁻¹ ≈ e^γ·log(2p) 量级（默滕斯定理的算术级数版本）。两因子相乘：概率 ≈ e^γ log(2p)/(p log 2)。求和：E[#] ≈ Σ_{p ≤ x, p 素} e^γ log(2p)/(p log 2) = (e^γ/log 2)·Σ_{p ≤ x} (log p + log 2)/p ≈ (e^γ/log 2)·(log x + log 2·log log x) ≈ (e^γ/log 2)·log x = e^γ·log₂x ≈ 2.57·log₂x（末步用默滕斯第二定理 Σ_{p ≤ x} (log p)/p ≈ log x；e^γ/log 2 ≈ 1.781/0.693 ≈ 2.57）。推论：最大梅森素数的指数每翻一平方倍增加一位有效数字——GIMPS 的搜索策略正建立在这一预测之上。□

命题 5（现状）　截至 2024 年，已知梅森素数 52 个；第 52 个为 2^136279841−1（2024 年 10 月，GIMPS 项目，4100 万余位），也是已知最大的素数。完全数世界同样有 52 个成员，最大者 2^136279840·(2^136279841−1)。Wagstaff 预测与实测个数（log₂ 尺度的线性增长）高度吻合，但「无穷多」的证明连第一步都没有。

说明　无条件的已知结果几乎为零：连 2^p−1 型素数在 p 上的密度下界都给不出。问题的死结在于：梅森素数是「指数序列的素性」，而现有的一切素数分布定理（素数定理、筛法）都只对「自然密度序列」有效——指数位置的素性是解析数论的盲区。□

进展与文献

欧几里得–欧拉定理见问题 28；Lucas–Lehmer 判据的完整证明见问题 16 综述；Wagstaff 的启发式见其论文（Math. Comp. 1983）与 GIMPS 官方文档；第 52 个梅森素数的公告见 GIMPS (2024)。完全数理论的整体面貌见 Dickson《History of the Theory of Numbers》第一卷第二章的历史梳理。