相邻平方之间：勒让德猜想 · 公开问题 09

问题

勒让德猜想（1808）：对每个正整数 n，存在素数 p 满足 n² < p < (n+1)²。窗口长度 2n+1 ~ 2√x 远小于素数定理允许的平均间隙 log x 之「放大」，是素数间隙猜想层级（Legendre → Andrica → Oppermann）中最强的一环。

主要概念

间隙猜想层级

设相邻素数为 p_n < p_n+1，间隙 g_n = p_n+1−p_n。勒让德 ⇔ 对一切 x ≥ 1，(√x)² 与 (√x+1)² 间有素数 ⇔ 窗口 ~ 2√x 内必有素数。Cramér 随机模型预测窗口 √x·log x 已绰绰有余，故猜想「应当为真」；难点在无条件证明。

切比雪夫函数

θ(x) = Σ_p≤x log p。素数定理等价于 θ(x) ~ x；间隙问题的现有进展几乎都表述为 θ 的下界估计。

二项式系数方法

Erdős（1932） revitalized Chebyshev 的论证：中心二项式系数 C(2n,n) 的素因子结构强制 (2n/3, 2n] 内出现大素数，这是 Bertrand 公设的初等证明核心。

主要命题与证明

命题 1（Bertrand 公设；Chebyshev 1852 / Erdős 1932，完整证明）　对每个整数 n ≥ 2，存在素数 p 满足 n < p < 2n。

证明　三个引理。引理 A：对每个整数 N ≥ 1，∏_p≤N p < 4^N。对 N 归纳。N = 1 平凡。设 k = ⌊N/2⌋，素数分为 ≤ k 与 > k 两段。前段由归纳假设 < 4^k ≤ 4^N/2。后段的每个素数 p（k < p ≤ N）整除 C(N,k)：p 在 N! 中出现一次（2p > N），且 p > N/2 ≥ k、p > N − k = ⌈N/2⌉ ≥ k，故 p 不整除分母 k!(N−k)!。于是后段乘积 ≤ C(N,k) < 2^N（它是 Σ_jC(N,j) = 2^N 的一个真项）。合并：∏_p≤N p < 4^N/2·2^N = 2^N·2^N = 4^N。引理 B：C(2n,n) ≥ 4ⁿ/(2n)。它是 2n+1 个非负项之和 4ⁿ 中的最大项，故 ≥ 平均值 4ⁿ/(2n+1) > 4ⁿ/(2n)。引理 C：素数 p 在 C(2n,n) 中的幂次 ≤ ⌊log_p(2n)⌋（因幂次 = Σ_j(⌊2n/p^j⌋ − 2⌊n/p^j⌋)，每项 ∈ {0,1}，只有 p^j ≤ 2n 的项非零）；特别地 p > √(2n) 时幂次 ≤ 1，且 2n/3 < p ≤ n 时幂次 = 0（核对：(2n)! 中 p 出现两次（p 与 2p ≤ 2n，3p > 2n），n! 中出现一次（2p > 4n/3 > n 不进 n!），故幂次 = 2 − 2×1 = 0）。

反设 (2n/3, 2n] 中无素数（注意：n < p < 2n 的素数属于此区间）。则 C(2n,n) 的素因子只来自 p ≤ √(2n)（每个贡献 ≤ 2n，共至多 √(2n) 个素数）与 √(2n) < p ≤ 2n/3（至多一次，乘积由引理 A ≤ 4^2n/3）。于是

C(2n,n) ≤ (2n)^√(2n)·4^2n/3.

结合引理 B：4^n/3 ≤ (2n)^√(2n)+1。两侧取以 2 为底的对数：2n/3 ≤ (√(2n)+1)·log₂(2n)。对 n = 500：左 333.3，右 (√1000+1)·log₂1000 ≈ 32.6×9.97 ≈ 325.1 < 333.3，矛盾；左端随 n 以斜率 1 增长，右端的增长率 ≈ log₂(2n)/√(2n) + 1/n < 0.32（n = 500 处）且递减，故自 n = 500 起亏差单调扩大，一切 n ≥ 500 均矛盾。剩余 2 ≤ n < 500 由素数链覆盖：若链中素数 q 满足 n < q ≤ 2n 则命题对该 n 成立；取链 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 139, 211, 293, 467, 601（每个 ≤ 前一个的 2 倍，覆盖区间 (1,2]∪(1.5,3]∪(2.5,5]∪(3.5,7]∪(6.5,13]∪(11.5,23]∪(21.5,43]∪(41.5,83]∪(69.5,139]∪(105.5,211]∪(146.5,293]∪(233.5,467]∪(300.5,601] = (1, 601] ⊇ [2,500)）。□

命题 2（Baker–Harman–Pintz，2001；陈述）　对 x ≥ x₀，区间 (x, x+x^0.525) 中必有素数。

注　窗口指数 0.525 距勒让德所需的 0.5 + o(1) 仅一步之遥，但这一步横亘了零点密度方法的全部威力；RH 本身给出窗口 O(√x log x)，仍不足以覆盖 (n²,(n+1)²) 的固定窗口——勒让德比「RH 可推」更强。□

进展与文献

数值：奥珀曼与勒让德在已验证的素数表范围内全部成立；Andrica 等价的最小间隙检验同样无一反例。相关链：Andrica ⇒ 勒让德（命题 1），而奥珀曼与 Andrica 互不蕴含（命题 2）。文献：Baker–Harman–Pintz, Proc. London Math. Soc. 83 (2001)；Dusart 对 π(x) 的显式界（小范围验证工具）。