问题
对正整数 n，真因子和 s(n) = σ(n) − n 是除 n 自身外全部正因子之和。迭代 n → s(n) → s(s(n)) → ⋯ 得到 aliquot 链。终止于 1 的链称为「终结链」；固定点是完全数（s(n) = n），二循环是相亲数对（如 220 ↔ 284），更长周期是社交数链。卡塔兰（1888）与迪克森（1913）猜想：每条 aliquot 链都有界——从而按抽屉原理必然终止、进入完全数或落入周期轨道。
现状：276 的链已计算超过两千项仍未闭合（也没有发散的迹象）；这个「难缠者」与 552、564、660、966 并称五大开链。而李伦斯特拉（Lenstra 1977）在多项式环的类比中构造了确会发散的链，说明猜想在一般框架下并非当然。
主要概念
σ 函数的乘法结构
σ 是积性的：(m, n) 互素时 σ(mn) = σ(m)σ(n)，且 σ(pe) = (pe+1−1)/(p−1)。aliquot 链的整个动力学都建立在这条公式上：把 n 分解成素数幂，就能机械地算出下一项。
奇偶性与「偶性陷阱」
链的动力学的第一道闸门是奇偶：一条链若长期保持偶性，就与「终止于奇数 1」背道而驰。欧拉的奇偶引理（命题 1）说明偶性远比奇性普遍——这正是偶链难以闭合的根源。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） σ(m) 为奇数，当且仅当 m 是平方数或两倍平方数。等价地：对偶数 m 而言，s(m) 为奇数当且仅当 m 是平方数或两倍平方数。
证明 写 m = 2a·∏piei（pi 为奇素数）。σ(pe) = 1 + p + ⋯ + pe 共 e+1 项、每项为奇数，故其奇偶由 e+1 决定：e 偶时为奇数，e 奇时为偶数。而 σ(2a) = 2a+1−1 恒为奇数。σ 是积性函数，其奇偶 = 各因子奇偶之积，故
奇部为完全平方的整数恰是 m = t²（当 a 偶）或 m = 2t²（当 a 奇）。对 s(m) = σ(m) − m：当 m 为偶数时 m 是偶数，故 s(m) 的奇偶与 σ(m) 相反当且仅当……精确地：s(m) 奇 ⇔ σ(m) 与 m 奇偶不同 ⇔ σ(m) 奇（因 m 偶）。□
推论 2 若偶数 m 既非平方数也非两倍平方数，则 s(m) 仍为偶数。于是 aliquot 链一旦进入偶数、且从此不再踩到「平方或两倍平方」的点，就永远保持偶性——这正是绝大多数偶链的实际行为（276 的链两千多项全是偶数）。
命题 3（276 链前六步的完整演算） 276 → 396 → 696 → 1104 → 1872 → 3770。
演算 276 = 2²·3·23，σ = (2³−1)(1+3)(1+23) = 7·4·24 = 672，s = 672−276 = 396。396 = 2²·3²·11，σ = 7·13·12 = 1092，s = 696。696 = 2³·3·29，σ = 15·4·30 = 1800，s = 1104。1104 = 2⁴·3·23，σ = 31·4·24 = 2976，s = 1872。1872 = 2⁴·3²·13，σ = 31·13·14 = 5642，s = 3770。链继续增长：3770 → 3790 → 3050 → 2716 → 2772 → …，两千余项后仍在攀升，从未重复、从未闭合。□
命题 4（Lenstra 发散现象，严格梗概） 在多项式环 𝔽[t] 中定义类比函数 S(f) = 「f 的全部首一真因子（陪集代表元）之和」，则存在多项式使迭代序列严格增长（按次数）——即卡塔兰–迪克森猜想的直接类比不成立。这解释了为何整数情形的证明无法通过任何「一般原则」自动获得：同一公理框架下两种世界给出相反答案。
命题 5（Bosma–Kane 2012，严格梗概） 正比例的偶数 n，其 aliquot 链的每一项都被 2 整除（因而永不终止于 1）。证明的核心是把命题 1 的奇偶判别细化为 2-adic 赋值 v₂(s(m)) 的显式公式，再证明：对正比例的 n，链中每一步的赋值都不落回 −∞（终止）条件。这是「许多链可能发散」的第一个严格证据，与盖伊–塞尔弗里奇的反启发式（期望正比例的链发散）相容。
进展与文献
计算方面：Lehmer 五十年代的台式机计算、te Riele 的 1980 年代程序到当代的 aliquot 项目（FactoringDB），开链名单稳定在 90 余条（万以下 11 条）。理论方面：Erdős 关于 σ(n)/n 分布的工作控制了链的「统计漂移方向」——对固定链，σ(n)/n 的累积漂移由素因子结构决定，发散与闭合之争即此漂移是否总有界。Lenstra 的发散构造见 Proc. Kon. Ned. Akad. 1977；Bosma–Kane 见 Math. Comp. 2012。Guy 与 Selfridge 1978 年的《The aliquot sequence problem》仍是最佳综述，其结论是诚实的：「两种直觉都自洽，我们不知道哪种对。」