问题
威尔逊定理说：n > 1 是素数 ⟺ (n−1)! ≡ −1 (mod n)。阿戈–吉乌加猜想是它的 «伯努利版»：n > 1 是素数 ⟺
其中 «≡ −1 (mod n)» 按逐素因子解读（见命题 1）。«素数 ⟹» 方向由库默尔同余保证（定理）；«⟸ 素数» 方向等价于：满足该同余的合数（吉乌加数）不存在。已知 «准吉乌加数» 30, 858, 1722, 66198, 2214408306, … 恰好差一个可除性因子（命题 2）。这与威尔逊定理的处境形成对照：威尔逊的 «合数侧» 有完全简单的刻画（n 合数 ⟺ (n−1)! ≡ 0 mod n，n ≠ 4），而伯努利版的合数侧异常微妙。
主要概念
伯努利数与幂和
伯努利数 Bk 由 Σj=0m jk = (Bk+1(m+1) − Bk+1)/(k+1) 定义（Bk+1(x) 为伯努利多项式）。库默尔同余：Bp−1 的模 p 行为由 «正则性» 控制，且 p·Bp−1 ≡ −1 (mod p) 对一切素数成立——这正是 «素数 ⟹» 方向。
幂和判据
吉乌加的同余 n | Σj=1n−1 jn−1 + 1 与伯努利判据等价（经幂和公式）。合数 n 满足它的充要条件（命题 1）：对每个 p | n，p | n/p − 1——满足的合数称吉乌加数。
主要命题与证明
命题 1（吉乌加判据，完整证明） 设 n > 1。则 Σj=1n−1 jn−1 ≡ −1 (mod n)（逐素因子）当且仅当对每个素数 p | n 同时有：（a）p − 1 | n − 1；（b）n/p ≡ 1 (mod p)。
证明 固定 p | n，把 j = 1, …, n−1 按 mod p 分组：每个剩余类恰出现 n/p 次，故
情形（a）成立，即 p−1 | n−1：由费马小定理每个 rn−1 = (rp−1)(n−1)/(p−1) ≡ 1，内和 ≡ p−1 ≡ −1 (mod p)，条件化为 (n/p)·(−1) ≡ −1，即（b）。情形（a）不成立：取模 p 的乘法群生成元 g，内和 Σr rn−1 = Σk=0p−2 gk(n−1) 为几何级数；因 p−1 ∤ n−1，公比 ≠ 1，级数和 = (g(p−1)(n−1) − 1)/(gn−1 − 1) = 0 (mod p)。故同余 Σ ≡ −1 (mod p) 失败（左边 ≡ 0 ≠ −1）。两情形合并即得判据。□
命题 2（完整判据合数的算术刻画 + 验证示例） （一）同时满足命题 1 的（a）（b）的合数必无平方因子且是卡迈克尔数。（二）30 = 2·3·5 满足（b）而违反（a）：核验 n/p − 1 = 14, 9, 5 分别被 p = 2, 3, 5 整除 ✓（（b）成立）；但 p = 3 时 p−1 = 2 ∤ 29（（a）失败）。这类 «仅满足（b）» 的合数文献称吉乌加数：已知 13 个——30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, …——每一个都在（a）处翻车；同时满足（a）（b）的合数样本为零，这正是猜想的核心缺口。
证明（一） （b）n/p ≡ 1 (mod p) 立即给出 p² ∤ n（否则 n/p ≡ 0 (mod p)，与 ≡ 1 矛盾）——n 无平方因子。（a）对每个 p | n 成立，加上无平方因子与合数性，由 Korselt 定理 n 是卡迈克尔数。□
命题 3（Kellner 的精确化） Agoh–Giuga 判据 n·Bn−1 ≡ −1 (mod n) 与幂和判据等价（对素数方向由库默尔同余 + 幂和公式；对合数方向由命题 1 的结构）；满足伯努利判据的合数必须同时是吉乌加数与卡迈克尔数。已知的 «同时满足两个同余的合数» 若存在将超过 13800 位数字（Borwein 等 1996 的计算壁垒）。
进展与文献
Giuga 1950 的原始猜想与 Agoh 1995 的伯努利重述；Kellner 的系列论文（〈On weak Carmichael numbers〉等）建立 «吉乌加–卡迈克尔» 交叉理论：同时满足两个判据的合数称 «吉乌加–卡迈克尔数»，其存在性与本猜想等价。与问题 24（Erdős–Moser）、问题 44（维费里希）同属 «伯努利数算术» 的核心家族；问题 24 的综述里已指出 Erdős–Moser 方程与 Agoh–Giuga 纲领同源（都经伯努利数的 «正则性» 结构）。计算：吉乌加数（仅满足 (b) 型 «每素因子 p | n/p − 1» 的，即 «Giuga 数» 严格定义）已知 13 个，第一个是 30——注意术语分层：文献中 «Giuga number» 指仅满足 p | n/p − 1 者，30 是第一个；而 «完整判据»（(a)+(b)）的合数样本为零，这正是猜想的核心缺口。