问题
是否存在无穷多对素数 (p, p+2)？2、3、5、11、17、29、41、59、71、101……孪生素数的名单在手工计算中绵延不绝，启发式（问题 05）预测其个数 ~ 2C2x/log²x，但连「无穷多」都未被证明——它是 k 元组猜想最著名、也是离获证最近的特例。
主要概念
Brun 纯筛
埃拉托斯特尼筛「除尽所有 < √x 的素因子」在计数层面不可控（余项爆炸）。Brun 的想法：只除前几层素因子，容许每个数保留至多 r 个大素因子。这给出上界筛——多算了，但可控。
加权与线性筛
Selberg 上界筛以二次型加权替代组合选择，给出至今最优的孪生素数上界 π₂(x) ≤ 4C2x/log²x(1+o(1))——注意它只比预测大一倍（常数 4 = 2²，上界筛的固有损失）。
奇偶障碍
线性组合筛法的权重只依赖「素因子个数」的奇偶信息，因而无法区分素数（1 个素因子）与两素数之积——这是把 246 压到 2 的那堵墙。
主要命题与证明
命题 1（Brun，1919） 孪生素数的倒数级数收敛：Σp, p+2 素数 1/p < ∞。这与全体素数倒数级数的发散（欧拉）形成鲜明对照。
证明 分两步。第一步（筛上界）：Brun 纯筛给出
论证要点：令 𝒜 = {n ≤ x : n 与 n+2 均无 < √x 的素因子}；π₂(x) ≤ |𝒜| + O(√x)。对 z < √x，容许 r 个 < z 素因子的 Brun 组合筛给出 |𝒜(z)| ≤ x·∏p<z(1−2/p)·(1 + C/(log z)² 级误差·Σ 展开项)，其中 2 是命题（问题 05）算出的局部障碍重数。取 z = exp(√(log x))，主项 ~ x/log²x，但容许项的补偿使误差放大 (log log x)² 因子——这就是 (*) 中的额外因子（细节见 Halberstam–Richert《Sieve Methods》第 2 章纯筛定理）。第二步（收敛）：由分部积分，
第一项 ≪ (log log X)²/log²X → 0；第二项的被积 ≪ (log log t)²/(t log²t)，而 ∫2∞ dt/(t log²t) 收敛，且 (log log t)² 缓增不破坏收敛。故级数收敛。□
命题 2（Chen，1973；陈述） 存在无穷多个素数 p 使 p+2 至多是两个素数的乘积（「1+2」）。这是筛法与权重法结合的最深无条件结果。
注 Chen 定理的证明是 Jurkat–Richert 型加权筛的极限操作：上界筛与下界筛在水平 √x 附近夹出「恰 1 个素因子 + 至多 1 个素因子」的窗口。再往「1+1」推进半步即为孪生素数，而这半步被奇偶障碍锁死。□
命题 3（奇偶障碍；原理陈述） 任何「权重仅依赖最小素因子分布」的线性筛，对形如 Λ(n) 与 Λ(n)2 的序列给出上界时无法区分 1 个与 2 个素因子；形式化地，存在「准素数序列」（每项为两素数之积）使得同一筛法对其给出与素数序列相同的界。
论证思路 线性筛的上界函数对序列 𝒜 只用到 |𝒜(d)| = (ω(d)/d)·x + r(d) 型信息；构造序列 {p·q(p)：取 q(p) 为与 p 匹配的大素数}，其筛分布函数与素数序列在全部 d ≤ x1/2−ε 上一致，但两者一个有孪生素数、一个没有。突破必须引入分布水平以上的新信息（如 EH）或非线性权重（如 Maynard–Tao 的多重加权）。□
进展与文献
时间线：Brun（1919）上界与收敛 → Selberg 筛（1947）常数 4 → Chen（1973）1+2 → GPY（2005/2009）间隔条件收敛 → Zhang（2013）θ>1/2 ⇒ 间隔 ≤ 7×10⁷ → Maynard–Tao + Polymath8b（2014）→ 246。数值验证至 x ≈ 1018。文献：Halberstam–Richert《Sieve Methods》；Chen Jing-run, Sci. Sinica 16 (1973)。