问题
克拉默（Cramér，1936）猜想：存在绝对常数 C，使相邻素数间隙满足
它预测素数间隙的上游极限是平方对数量级——比素数定理给出的「典型间隙」log p 只多一个 log 因子，却比任何已知无条件结果强得多。
主要概念
克拉默随机模型
把每个整数 m ≥ 3 赋予一枚独立硬币：以概率 1/log m 标记为「素数」。这个模型完美重现素数定理（期望计数 ∑1/log m ~ Li(x)），并给出间隙分布的定量预测：间隙近似服从参数 1/log p 的几何分布，尾部 P(间隙 > λ log p) ≈ e−λ。克拉默由此断言：最大间隙（对一切 pn ≤ x）约为 log²x。
Granville 修正
克拉默模型把素数当成完全独立的抛硬币，忽略了素数在小模数下的相关性（素数不能被 2、3 整除等局部结构）。Granville（1995）指出：计入最小素数的相关性后，模型预测最大间隙的常数应为 2e−γ ≈ 1.1229 倍的 log²x——而克莱默模型的常数是 1。已有数据（极端间隙的常数拟合在 1.1 附近）倾向 Granville 一侧。这一分歧本身悬而未决：它触及「素数在多大程度上像独立随机样本」这一根本问题。
主要命题与证明
命题 1（启发式推导，完整） 在克拉默模型下，以概率 1 最大间隙渐近于 log²x：存在间隙 > (1−o(1))·log²x，且几乎再无更大的间隙。
推导 模型中每个 m ≤ x 以概率 1/log m 独立中签，故长为 h 的素数空窗出现于位置 m 的概率约 (1−1/log m)h ≈ e−h/log x。区间 [1, x] 内候选位置约 x 个，间隙总数约 x/log x。令 λ 使期望出现次数为 1：
于是最大间隙 ≈ λ·log x = log x(log x − log log x) = log²x·(1 − log log x/log x) ~ log²x。出现两次以上超长间隙的概率由泊松分布给出，随 x→∞ 趋于零；存在至少一个的概率趋于 1（二阶矩方法：空窗计数变量的方差由独立性可控）。□
命题 2（无条件上界；证明梗概） Baker–Harman–Pintz（2001）：对充分大的 x，区间 [x − x0.525, x] 内必有素数，故 gn ≪ pn0.525。
证明梗概 用线性筛与指数和估计的精细组合：把区间分块，对每块用 sieve 权函数估计「被筛剩」的整数个数，再用 Vaughan 型指数和界控制每块中素数的贡献，使得总筛余为正。全程是深度的解析数论机械，无概念性捷径。□
命题 3（无条件下界；陈述） Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao（2016）：存在无穷多相邻素数间隙
说明 该下界沿 Rankin 1938 的构造路线，用 Maynard 的素数覆盖与 Erdős–Rankin 筛法的现代化版本。它与上界 x0.525 之间的鸿沟就是克拉默猜想的全部难度。□
进展与文献
Cramér, Acta Math. 67 (1936)（模型原始论文）；Granville, Math. Intelligencer 17 (1995)（2e−γ 修正）；Baker–Harman–Pintz, Proc. London Math. Soc. 83 (2001)；Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao, Ann. of Math. 183 (2016)。