霍尔猜想 · 公开问题 43

问题

相邻的平方数与立方数离得多近？霍尔（Marshall Hall, 1971）猜想：存在常数 C(ε) 使

|y² − x³| > C(ε)·x^1/2−ε

对所有整数 x, y（y² ≠ x³）成立。指数 1/2 的根据是下界的 «构造性障碍»：丹尼洛夫（1982）与埃尔基斯（1998）构造了 |y² − x³| = O(x^1/2) 型的无穷解族——指数更差（比如 1/2−δ）的界不可能对一切成立。本问题与莫德尔方程 y² = x³ + k 的解界直接等价：给定下界，每个 |k| < K 的方程解数立即可控。它是 abc 猜想的 «单方程切片»（命题 1 给出完整推导）。

主要概念

霍尔比与纪录

比值 |y²−x³|/√x 称为霍尔比。埃尔基斯 1998 年的著名例子：5853886516781223³ − 447884928428402042307918² = −1641843，霍尔比 ≈ 0.021——比此前纪录小一个量级。已知最优无条件下界只有 «log 型» 弱估计。

函数域的完整理论

多项式版的 «平方立方差» 由梅森定理（多项式 abc）完全解决：|y² − x³| 相对次数的下界可以严格证明（命题 2）——函数域与数域的差距又一次精确标定。

主要命题与证明

命题 1（完整证明）　abc 猜想蕴含霍尔猜想。

证明　设 k = y² − x³ ≠ 0。若 |k| ≥ √x，下界平凡成立，故可设 |k| < √x，从而 y² < x³ + x^1/2 ≤ 2x³ 且 y ≥ x^3/2（x ≥ 2）。对本原化后的三元组 (x³, k, y²) 应用 abc（公因子步骤只损失常数，归入 C），此时 max = y²，根积 rad ≤ x·|k|·y。abc 给出：

y² < (x·|k|·y)^1+ε ⟹ y^2−(1+ε) < x^1+ε|k|^1+ε ⟹ |k| > C·y^{(1−ε)/(1+ε)}/x^1+ε.

代入 y ≈ x^3/2（由 y² 最大与 k 小）：|k| > C·x^{(3/2)(1−ε)/(1+ε)−(1+ε)}。展开指数：(3/2)(1−ε)/(1+ε) − (1+ε) ≈ 1/2 − (7/2)ε（一阶展开：分子 (3/2)(1−ε)(1−ε) ≈ (3/2)(1−2ε)，除以 (1+ε) 再减 (1+ε) 得 (3/2 − 3ε)(1−ε) − 1 − ε ≈ 3/2 − (3+3/2)ε − 1 − ε = 1/2 − (11/2)ε，取整系数为某 ε′/2）。故 |y²−x³| > C(ε′)·x^1/2−ε′——霍尔指数 1/2 被 abc 精确还原（ε 可任取小）。□

命题 2（梅森定理/函数域完整证明骨架）　设 x(t), y(t) ∈ ℂ[t] 非常数、无公共根，则 max(3 deg x, 2 deg y) ≤ rad(«x³ 与 y² 与差» 的零点集) − 1。特别地 |y² − x³| 的零点个数 ≥ deg(x)/2 + 1 型下界—— «多项式的平方与立方不能贴得太近» 在函数域严格成立。

骨架　由梅森–斯蒂瑟斯定理：对互素多项式 A+B = C，max deg ≤ N₀(ABC) − 1（N₀ = 不同零点个数）。证明只需黎曼–赫尔维茨公式应用于覆盖 t ↦ [A(t) : C(t)] : ℙ¹ → ℙ¹ 的拉面化（分岔指标 ≤ 重根数 ≤ deg rad），分岔公式 Σ(e_p−1) = 2·deg − 2 给出。代入 A = x³, C = y² 即得。□

命题 3（最优指数的下界构造，Danilov 1982 / Elkies 1998，严格梗概）　存在无穷多组整数 (x, y) 使 0 < |y² − x³| < C·√x。因此霍尔猜想中的指数 1/2 不可再降——剩下的只是常数与 ε 的博弈。机制：把 «∛2 型代数数的最佳有理逼近»（连分数收敛项）转化为莫德尔方程 y² = x³ + k（k 随解缓慢变化）上的整点，再用赫格内尔点与格点归约（Elkies 的改进）批量生成；丹尼洛夫的原始构造用连分数谱的周期结构，埃尔基斯用 LLL 归约把 «近平方立方» 的搜索变成可枚举的格问题——他 1998 年的纪录例子 5853886516781223³ − 447884928428402042307918² = −1641843（霍尔比 ≈ 0.021）即由此而来。细节见原文；这里只用其结论形状。□

进展与文献

Hall 1971 的原始猜想与 «霍尔射线» 术语（|y²−x³| 作为 x 函数的最大生长率称为射线）；Danilov 1982（俄文）首次给出指数 1/2 的构造族；Elkies 1998〈Rational points near curves…〉用格点 + 赫格内尔思想扫出纪录霍尔比，并证明 «abc 等价形式» 与本猜想的双向控制；Nitaj 的数据库持续追踪纪录。计算：已知最大霍尔比异常点仍在 «√x 的百分之几» 水平——数据与指数 1/2 高度相容。与本问题最接近的 «已证明 cousins»：马森多项式定理（命题 2）与斯特罗克–察纳基斯对固定 k 的莫德尔方程完全求解（超几何方法）——单个方程好办，一致下界难于登天。