相亲数有无穷多对 · 公开问题 30

问题

记 s(n) = σ(n) − n（真因子之和，不含 n 自身）。若 s(m) = n 且 s(n) = m（m ≠ n），称 (m, n) 为相亲数（amicable pair）。最小一例即毕达哥拉斯学派早已知道的 (220, 284)。问题：相亲数对是否无穷多？此问悬置至今。一个更基本的问题同样未决：奇数相亲数对是否存在？迄今一对也没找到。

主要概念

迭代链的长度 2

s 的迭代给出 aliquot 链：1（完全数，s(n) = n）、2（相亲对，s(s(n)) = n）、4（相亲链 sociable chain）、…（问题 31 处理一般链的终止性）。相亲数是链长 2 的周期点，而「无穷多对」问的是这个动力系统是否有无穷多个周期 2 轨道。

构造规则的传统

相亲数的研究以「参数规则」为主线：塔比特·伊本·库拉（Thābit ibn Qurra, 9 世纪）给出第一个多项式型规则（命题 1），费马与笛卡尔各重新发现并推广，欧拉以一般化方法一人生成六十余对。现代计数结果（爱多士 1955 起）则从反方向逼近：不构造单对，而是证明对数在 x 以下至少多到某种程度——两条路线都到不了「无穷」。

主要命题与证明

命题 1（塔比特规则；完整证明）　设 p = 3·2ⁿ⁻¹−1，q = 3·2ⁿ−1，r = 9·2²ⁿ⁻¹−1 均为素数，则 (a, b) = (2ⁿpq, 2ⁿr) 是相亲数对。

证明　先算 σ(a)。2ⁿ, p, q 两两互素，故

σ(a) = (1+2+⋯+2ⁿ)(p+1)(q+1) = (2ⁿ⁺¹−1)·3·2ⁿ⁻¹·3·2ⁿ = 9·2²ⁿ⁻¹·(2ⁿ⁺¹−1) = (r+1)(2ⁿ⁺¹−1).

另一方面展开 pq = (3·2ⁿ⁻¹−1)(3·2ⁿ−1) = 9·2²ⁿ⁻¹ − 3·2ⁿ⁻¹ − 3·2ⁿ + 1 = (r+1) − 9·2ⁿ⁻¹ + 1 = r + 2 − 9·2ⁿ⁻¹，于是

a+b = 2ⁿ(pq + r) = 2ⁿ(2r + 2 − 9·2ⁿ⁻¹) = 2ⁿ⁺¹r + 2ⁿ⁺¹ − 9·2²ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹r + (N+1) − (r+1)，

其中 N = 2ⁿ⁺¹−1（9·2²ⁿ⁻¹ = r+1）。整理：a+b = r·(2ⁿ⁺¹−1) + (2ⁿ⁺¹−1) = (r+1)(2ⁿ⁺¹−1) = σ(a)。故 σ(a) = a+b，即 s(a) = b。再算 σ(b) = σ(2ⁿ)σ(r) = (2ⁿ⁺¹−1)(r+1) = σ(a) = a+b，故 s(b) = a。双方互为真因子和，(a, b) 相亲。□

命题 2（最小对的验算；完整证明）　取 n = 2：p = 5，q = 11，r = 71 皆素，规则给出 (a, b) = (2²·5·11, 2²·71) = (220, 284)。

验算　σ(220) = σ(2²)σ(5)σ(11) = 7·6·12 = 504 = 220+284 ✓；σ(284) = σ(2²)σ(71) = 7·72 = 504 = 284+220 ✓。真因子和：220 的真因子 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 之和 = 284 ✓；284 的真因子 1,2,4,71,142 之和 = 220 ✓。□

命题 3（爱多士的计数；陈述与量级）　Erdős（1955）：相亲数（出现在某相亲对中的数）在 ≤ x 中至少有 x/log log x 量级多个——密度为零却近乎线性；同文证明相亲数密度为零。Pomerance 及后续工作把两侧界的指数不断收紧（上界压到 x·exp(−Ω((log x)^c)) 型，下界升到 x^1−o(1) 型），「有无穷多对」恰卡在下界「→ ∞」与上界「有限对比率 → 0」之间的缝隙里。

说明　爱多士方法的骨架：相亲对 (m, n) 强制 m, n 的素因子结构与 σ 比值 2 的近似高度绑定——用筛法统计「σ(n)/n 落在 2 的窄带内且与镜像匹配」的 n。计数下界因此依赖 σ 的均值分布理论（Davenport 型结果），而「无穷多对」需要的是镜像匹配在无穷范围上的实现——均值理论给不了。□

命题 4（奇数相亲数；陈述）　奇数相亲数对迄今零例。已知若存在则两数都极大且素因子结构受限（如都含大素数幂）；数值搜索排除了到极大范围的全部情形。问题的尴尬在于：没有任何奇偶性论证禁止奇数对——纯偶性推理在 σ 的层面失效（σ(奇) 可偶可奇）。

说明　偶数相亲对之所以「遍地都是」，靠的是 2ⁿ 因子在 σ 中的两栖性（σ(2ⁿ) = 2ⁿ⁺¹−1 提供「差一」机制）；奇数世界没有 2 这个现成的杠杆，塔比特型的规则都依赖 2-幂——奇数对的缺失可能不是巧合，而是「杠杆不存在」的表现，但把它变成证明正是问题的全部难度。□

进展与文献

塔比特规则原载其《论数与它的Friendship》（9 世纪手稿）；欧拉的规则与六十余对见其 Opuscula analytica；爱多士计数见 Publ. Math. Debrecen (1955)；Pomerance 的密度与计数改进见其系列论文；现代已配对数量（超过十亿对）见 Pedersen 的在线相亲数库。aliquot 链的动力学视角（问题 31）见 Guy–Selfridge 的纲领性文章。