安德里卡猜想 · 公开问题 11

问题

设 p_n 为第 n 个素数，g_n = p_n+1 − p_n 为相邻素数间隙。安德里卡（Andrica，1976）猜想断言：

√p_n+1 − √p_n < 1　对所有 n ≥ 1.

它与问题 10 的奥珀曼猜想、勒让德猜想同属「平方格子」家族：若它成立，则每个开区间 (n², (n+1)²) 内必有素数。

主要概念

平方根间隙的几何

把素数画在实轴上再取平方根，相当于用非线性标尺压缩大数一端的间隙。素数定理说 p_n ~ n log n，于是典型间隙 g_n ~ log p_n，而典型平方根间隙是

√p_n+1 − √p_n = g_n / (√p_n+1 + √p_n) ≈ (log p_n) / (2√p_n).

这个量随 n 趋于零——猜想要求的只是它「永不越界」，分母 2√p_n 的增长速度足以吞掉一切已知类型的间隙波动；困难在于素数间隙没有已证明的次平方根上界。

与兄弟猜想的关系

已验证的蕴含链只有一条方向：Andrica ⇒ 勒让德（命题 2）；奥珀曼与 Andrica 互不蕴含——问题 10 命题 2 给出了显式局部构型（素数段 ⋯83, 89, 109, 113⋯），说明「每两块相邻平方砖之间有素数」并不排除某两根相邻素数跨过一块砖的边界。流传的「奥珀曼⇒Andrica」论证是错误的。

主要命题与证明

命题 1（等价形式）　安德里卡猜想等价于 g_n < √p_n+1 + √p_n 对一切 n；特别地它可由逐项不等式 g_n < 2√p_n + 1 蕴含。

证明　对实数 x < y 有恒等式 y − x = (y−x)(y+x)/(y+x) = (y²−x²)/(y+x)。取 x = √p_n，y = √p_n+1：

√p_n+1 − √p_n = g_n / (√p_n+1 + √p_n),

分母恒正，故「平方根间隙 < 1」等价于「g_n < √p_n+1 + √p_n」。又 p_n+1 < p_n + 2√p_n + 1 时 √p_n+1 < √p_n + 1，故若对一切 n 有 g_n < 2√p_n + 1，则 √p_n+1 − √p_n < 1，Andrica 成立。□

命题 2（完整证明）　安德里卡猜想蕴含勒让德猜想：每个开区间 (n², (n+1)²)（n ≥ 1）内至少有一个素数。

证明　反设某 n ≥ 1 使 (n², (n+1)²) 内无素数。取 p 为小于 n² 的最大素数，q 为大于 (n+1)² 的最小素数。先证 p 与 q 相邻：若有素数 r 介于其间，则 r > p 且 r < q；由 q 的最小性得 r ≤ (n+1)²，由 p 的最大性得 r ≥ n²。但 n² 与 (n+1)² 都是合数且 r 不等于端点（r > p ≥ 2 的素数不可能是 n² ≤ (n+1)² 端点值——端点均为完全平方，必为合数；若 r = n² 或 (n+1)² 则 r 为合数，矛盾），故 r ∈ (n², (n+1)²)，与反设矛盾。于是 p、q 是相邻素数。又 p < n²（p 是素数，不能等于完全平方数 n²，因 n ≥ 1 时 n² ≥ 1 且 n² 的素因数分解非平凡——除 n² = 1 无素因子外皆合数），故 √p < n；同理 q > (n+1)² 故 √q > n+1。于是 √q − √p > (n+1) − n = 1，违反 Andrica。故每个平方格子内都有素数。□

命题 3（已知界的位置）　目前无条件的最好结果是 g_n ≪ p_n^0.525（Baker–Harman–Pintz）；黎曼假设只给出 g_n ≪ √p_n·log p_n（von Koch）——两者都不足以蕴含 Andrica 所需的 O(√p)。

讨论　这说明 Andrica 严格强于黎曼假设对间隙的推论：指数 0.525 与 0.5 之间隔着素数分布理论目前无法穿越的地带；即便 RH 成立，还差一个对数因子。数值上，已验证间隙表（覆盖 p_n 直至 2⁶⁴ 量级）中最大间隙与 2√p 相比小十万倍以上，猜想远未被数据逼近其极限。□

进展与文献

Andrica, Note N. 14, Octogon 4 (1996)；蕴含关系与反例构型的厘清见问题 10 的综述。相关的强间隙上界：Baker–Harman–Pintz, Proc. London Math. Soc. 83 (2001)；RH 间隙上界：von Koch, Acta Math. 24 (1901)。