问题
对互素正整数 a+b = c，定义根积 rad(abc) = ∏p|abc p（出现的素数各计一次）。abc 猜想（Oesterlé–Masser，1985）：对每个 ε > 0，只有有限多个互素三元组使
比值 log c/log rad(abc) 称为三元组的质量（quality）。已知最高质量约 1.63（命题 2 给出演算）；猜想断言质量超过 1+ε 的三元组只有有限多个——乘法复杂度（根积）最终支配加法复杂度（和）。
主要概念
根积与质量
rad 把整数的「乘法基因」剥到只剩不同素因子的骨架：rad(2⁶·3⁵) = 6。三元组 a+b = c 的三方互素意味着素因子各不重复，rad(abc) 恰是三方全部素因子的乘积。质量接近 1 是「常态」；质量 > 1.4 的已知例子只有几十个。abc 的哲学：加法关系中不能隐藏太深的幂结构。
为何是「已经解决一半的数论」
abc 蕴含费马大定理的渐近加强（命题 1）、Mordell 方程的有效化、Pillai 问题、Erdős–Woods 猜想的等价形式等一大批结果。它等价于斯皮罗猜想（问题 19）的半稳定形式，是算术几何「Diophantine 不等式」纲领的中枢。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） abc 猜想蕴含：对每个指数 n ≥ 4，方程 An+Bn = Cn 没有任何两两互素的正整数解——不只是有限个，而是一个都没有（费马大定理的直接强化，且只用了 abc 的 ε-形式）。
证明 设 (A, B, C) 两两互素且 An+Bn = Cn，n ≥ 4。对三元组 (a, b, c) = (An, Bn, Cn) 应用 abc：取 ε = (n−3)/6 > 0。三方互素保证 abc 的前提成立。计算根积：rad(AnBnCn) = rad(ABC) ≤ ABC（根积不超过原数）。又 A < C、B < C（正数幂不等式），故 ABC < C³。于是
核对指数：3(1+ε) = 3+(n−3)/2 = (n+3)/2，而 n ≥ 4 时 (n+3)/2 < n。于是不等式给出 Cn < C(n+3)/2，其中指数左边更大——与 C ≥ 2 矛盾（幂函数对底数 ≥ 2 严格递增）。故这样的解根本不存在；引理得证。注意 n = 3 时 (n+3)/2 = 3，论证失效——abc 对指数 3 的费马方程确实无话可说。□
命题 2（已知最高质量三元组；完整演算） 三元组 (2, 3¹⁰·109, 23⁵)：2 + 59049·109 = 23⁵，质量约 1.6299。
演算 3¹⁰ = 59049；59049×109 = 59049×100+59049×9 = 5904900+531441 = 6436341；加 2 得 6436343。验 23⁵：23² = 529，23³ = 12167，23⁴ = 279841，23⁵ = 279841×23 = 6436343 ✓。互素：三方素因子 2、3、109、23 分属不同成员，两两互素成立。rad = 2·3·109·23 = 15042。质量 = log 6436343 / log 15042 ≈ 15.677/9.618 ≈ 1.630。按 abc，质量 > 1+ε 的例子只有有限多——目前所有已知例子质量 < 1.64，与「1+ε 上界」相容但留给猜想的余量极薄：若存在质量趋于 2 的无穷三元组列，abc 直接崩溃。□
命题 3（等价形式与现状） abc 等价于 Szpiro 猜想的半稳定形式（问题 19），也等价于 Granville–Tucker 的「ε-根积形式」。望月新一（2012）宣布的 Inter-universal Teichmüller 理论声称证明 abc，但经 Scholze–Stix 等指出的关键引理（系 3.12）争议至今未决，数学界未普遍接受。
说明 争议焦点：IUT 把数域的算术「解体」到胝系数环上重编，其中系 3.12 的不等式是否成立取决于两种「体积」能否比较——Scholze–Stix 认为该步在现有写法下不成立，IUT 方认为批评者未接受理论内部约定。无论结局如何，abc 的工具化后果（命题 1 型推论）都保持独立价值。□
进展与文献
Oesterlé–Masser 的原始表述（1985）；高质量三元组的系统搜索见 Bart de Smit 的 abc 三元组表；IUT：Mochizuki, PRIMS 专号 (2021) 及 Scholze–Stix 的批评意见（Why abc is still a conjecture, 2018）。