问题
e 与 π 各自超越（埃尔米特 1873、林德曼 1882），但把他们组合起来的第一层——e+π 与 eπ——就全部失守：两者的无理性都没证，代数无关更是无从谈起。唯一确定的结论（命题 2，完整可证）：两者至少有一个是超越数。这条 «一句话家底» 与 problem 37 的尚埃尔纲领形成鲜明对比：n = 2 的世界几乎完全黑暗。
主要概念
二次方程打包论证
e 与 π 是多项式 x² − (e+π)x + eπ 的两个根。若系数都代数，则根都代数（代数封闭性）——与 e 超越矛盾。这招 «把两个未知数打包成二次方程» 是本问题唯一有效的武器，也是它只能给出 «存在性» 而非 «指定» 的原因。
格尔丰德–施耐德的边界
eπ = (−1)−i 是 «代数底 (−1) 的代数次幂?» 的边界案例：底与指数都代数（−1 与 −i），格尔丰德–施耐德给出 eπ 超越——前提 «底 ≠ 0, 1» 恰好满足。但 eπ、e+π、πe、π√2、ee 的底或指数是超越数，定理一律够不着。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） π 超越（林德曼 1882）。
证明骨架 由欧拉恒等式 eiπ + 1 = 0：若 π 代数，则 iπ 代数非零，林德曼定理（问题 37 命题 1）给出 eiπ = −1 超越——但 −1 代数，矛盾。故 π 超越。整条链的枢纽是埃尔米特 1873 年对 e 的超越性证明（插值行列式机器，问题 37 命题 1 的骨架）。□
命题 2（完整证明） e+π 与 eπ 中至少一个是超越数。
证明 反设两者都代数。则 e 是二次方程 x² − (e+π)x + eπ = 0 的根，其系数是代数数。代数数构成代数封闭域（代数基本定理在 ℚ̄ 上成立：系数代数的多项式的根仍代数），故 e 代数——与埃尔米特定理矛盾。故两者不能都代数；结合 «代数 ⇒ 非超越» 的二分，至少一个超越。□
命题 3（完整证明） 至少 e+π 与 eπ 中的一个无理数——同一论证在 «无理» 层面的翻版（若两者都有理，e 是有理系数二次方程的根，故二次代数数，矛盾）。
命题 4（已知超越量清单，完整证明骨架） 已超越：〈e, π, eπ, 对任意非零代数 α 的 eα, 2√2（格尔丰德–施耐德）, log 代数数（如 log 2：若其代数非零，则 elog 2 = 2 代数，与林德曼定理矛盾，故 log 2 超越）〉。未知：〈e+π, eπ, πe, π√2（底超越）, ee, ππ, e·π 的单独无理性〉。清单的不对称性精确刻画了现有工具（埃尔米特–林德曼、格尔丰德–施耐德、贝克对数线性型）的覆盖范围：全部要求 «指数位置代数»。
进展与文献
格尔丰德常数 eπ ≈ 23.1407 的超越性见于格尔丰德 1929 与施耐德 1934 的独立证明（「七次幂问题» 的副产品）。对 e+π / eπ 的所有已知进攻路线归纳为一个诊断：它们都是 «指数位置的超越数» 的第一层组合，而超越数论的三大工具——插值行列式（覆盖 e代数）、格尔丰德机制（覆盖 代数代数）、贝克线性型（覆盖对数的 ℚ̄-线性组合）——没有一条能处理 «底与指数同时超越»。尚埃尔猜想（问题 37）是唯一能整体压住本问题的已知纲领：它直接蕴含 trdeg ℚ(e, π, ee, eπ) ≥ 3 的家族结果，但 e+π 的无理性需要更精细的 «指定»，连尚埃尔都不能直接给出——这是猜想与需求之间已知的最尖锐缺口之一。