问题
莱默（D. H. Lehmer，1932）猜想：φ(n) | n − 1 的合数不存在。这样的假想数被称为莱默数。它是卡迈克尔数问题（n | an − a 对一切 a）的 «欧拉版»：卡迈克尔数 1994 年被证明无穷多（Alford–Granville–Pomerance），而欧拉版连一个都没有。乘法结构（费马性质）允许大规模伪装成素数，积分结构（φ 值）似乎不允许——这一反差是问题的全部张力。
主要概念
φ 的结构与两个约束链
φ(n) = n∏p|n(1 − 1/p)。φ(n) | n−1 立即给出两层数据：①φ(n) 的每个素因子都整除 n − 1，而 n 与 n−1 互素 ⇒ φ(n) 的素因子与 n 完全分离；②对每个 p | n，p − 1 | φ(n) | n − 1——即 n 自动是卡迈克尔数（Korselt 判据的前半）。莱默数若存在，是 «比卡迈克尔数更挑剔一个量级» 的对象。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 满足 φ(n) | n−1 的 n 必是无平方因子的。
证明 反设 p² | n。则 p | φ(n)（φ 的乘积公式中 σ 型因子含 p：精确地 φ(pe) = pe−1(p−1) 以 p 为因子，e ≥ 2）。由 φ(n) | n − 1 得 p | n − 1。但 p | n，故 p | n − (n−1) = 1，矛盾。□
命题 2（完整证明） 满足条件的 n > 2 必为奇数。
证明 若 n 为偶数且 n > 2，则 φ(n) 为偶数（n 有奇素因子时 φ 含偶因子 p−1；n = 2k 时 φ = 2k−1 偶，k ≥ 2）。而 n − 1 是奇数，偶数不能整除奇数。□
命题 3（完整证明） 若莱默数存在，则对每个 p | n 有 p − 1 | n − 1，且 n 是卡迈克尔数。
证明 p | n ⇒ (p−1) | φ(n)（φ 的公式：素因子 p 贡献 (p−1)·pe−1）。结合 φ(n) | n−1 得 p−1 | n−1。又命题 1 给出 n 无平方因子；Korselt 判据（n 是卡迈克尔数 ⟺ n 合数无平方因子且对一切 p | n 有 p−1 | n−1）的两个条件都满足。□
命题 4（已知壁垒，完整陈述） （Cohen–Hagis 1980 及后续改进）莱默数若存在，则：n > 1030 且至少有 15 个不同素因子。证明路线：①奇性与无平方因子（命题 1–2）把搜索空间压到 «奇数个奇素数的无平方因子积»；②对每个 p | n 的约束 p−1 | n−1 用 «n 的最小素因子必须很大» 的瀑布论证逐层排除：若最小素因子 p1 太小，则 n ≡ 0 mod p1 与 n ≡ 1 mod (pi−1) 的联立在模 p1 层面矛盾；③剩余情形的覆盖下界由 φ(n)/(n−1) 的连分数逼近性质给出——15 与 1030 是这套瀑布的当前尽头。
进展与文献
Lehmer 1932 的原始短文；Cohen–Hagis 1980（n > 1030、≥ 14 因子）与后续（15 因子界，Neild 2020s 的计算强化）。与卡迈克尔数的对照是问题最好的 «教材»：AGP 1994 的构造靠 «把许多小素数 p（p−1 | L）组合到乘积 ≡ 1 mod L»——组合自由度巨大；而莱默数额外要求 φ(n) 本身整除 n−1，等于要求 «所有 (p−1) 的乘积结构再回到 n−1»，自由度被斩断。启发式：满足前半（卡迈克尔型）的数在 x 之下约 x1−o(1) 个，再叠加 φ 条件（每个素因子又须满足 «p ∤ n/p − 1» 型独立约束）后预期个数指数衰减——倾向 «不存在»，但没有任何无条件证明；问题 46（Agoh–Giuga）的 «吉乌加数» 是另一个 «乘积条件可满足、积分条件悬置» 的平行样本。