问题
比尔（Andrew Beal，1993 年提出，1997 发表）猜想：若正整数 A, B, C 与指数 x, y, z > 2 满足 Ax+By = Cz，则 A, B, C 有公共素因子。它是费马大定理的推广——费马对应 x = y = z = n 且互素的情形（此时无解）。比尔设下 10 万美元悬赏（后提高到 100 万美元），由美国数学会托管。
主要概念
从费马到比尔：公因子的屏障
费马大定理（Wiles，1995）只处理三方互素且指数相等的情形；允许指数不同后，方程进入「广义费马方程 xp+yq = zr」的地形。互素情形由 Fermat–Catalan 猜想管辖（解应有限——已知恰好 10 组，命题 2）。而公因子正是逃生口：例如 2³+2³ = 2⁴（三方全带公因子 2）；由任一组解还能用指数最小公倍数 L = lcm(x,y,z) 无限繁殖——(dL/xA)x+(dL/yB)y = dL(Ax+By) = (dL/zC)z，如取 2³+2³ = 2⁴ 缩放得 32³+32³ = 16⁴。所以比尔猜想的实质是：公因子是唯一的逃生口——剥掉公因子后，剩下的一切都应落入 Fermat–Catalan 的有限解表。
Fermat–Catalan 地形
指数倒数和 1/x+1/y+1/z 决定方程的「亏格」：≥ 1 时可能有无穷多解（勾股 1/2+1/2+1 = 2），< 1 时预计只有有限多组互素解。已知互素解恰 10 组（命题 2 全表），全部满足 1/x+1/y+1/z < 1——比尔猜想覆盖其中 x, y, z 全 > 2 的子集并断言它们必须带公因子。
主要命题与证明
命题 1（两两互素结构；完整证明） 若 Ax+By = Cz 且 gcd(A, B) = 1，则 A, B, C 两两互素。特别地，比尔猜想的反例必是两两互素的三元组。
证明 设素数 p | A 且 p | C。则 p | Ax 与 p | Cz，故 p | Cz−Ax = By，于是 p | B，与 gcd(A, B) = 1 矛盾。故 gcd(A, C) = 1；同理 gcd(B, C) = 1。□
命题 2（Fermat–Catalan 已知解全表；陈述与验证样例） 互素、指数 > 1 且 1/x+1/y+1/z < 1 的方程 Ax+By = Cz，目前已知恰以下 10 组解：
全表与样例验算 ①1m+2³ = 3²；②2⁵+7² = 3⁴；③7³+13² = 2⁹；④2⁷+17³ = 71²；⑤3⁵+11⁴ = 122²；⑥17⁷+76271³ = 21063928²；⑦1414³+2213459² = 65⁷；⑧9262³+15312283² = 113⁷；⑨43⁸+96222³ = 30042907²；⑩33⁸+1549034² = 15613³。样例验算：②32+49 = 81 = 3⁴ ✓；④128+4913 = 5041 = 71² ✓；⑤243+14641 = 14884 = 122² ✓。注意①⑦等含指数 2——Fermat–Catalan 允许指数为 2，而比尔要求三方指数全 > 2；上表中指数全 > 2 者一个都没有（①的 1m 与带 2 的项都不合格），这正是比尔猜想的计算侧支撑：互素世界中「全指数 > 2」的解迄今为零。□
命题 3（已知部分结果；陈述） Darmon–Merel（1997）：签名 (n, n, 2)（n ≥ 4）的互素解只有平凡解——xn+yn = z² 无非平凡互素解。Poonen（1998）：签名 (n, n, 3)（n ≥ 3）同样无互素解。这些是广义费马方程地形上被完整攻克的最大片区域。
说明 Darmon–Merel 用模性方法（把 Frey 曲线接入 Wiles 框架）与 Ribet 水平下降；Poonen 用类似的模性路线处理立方签名。比尔猜想的一般性远超这些签名方法的能力范围：三个指数都自由时，Frey 曲线的 mod p 表示没有足够刚性的约束可挖。□
进展与文献
Beal, Notices AMS 44 (1997)（问题陈述与悬赏）；Fermat–Catalan 猜想与解表：Darmon–Granville, Bull. London Math. Soc. 27 (1995)；Darmon–Merel, J. reine angew. Math. 490 (1997)；Poonen, Acta Arith. 86 (1998)。已验证范围：三方指数 ≤ 若干百内的穷举均无反例。