问题
整数系数多项式 f(x) = ad∏(x − αj) 的马勒测度 M(f) = |ad|·∏ max(1, |αj|)—— «单位圆外的根推到圆外的力量之和»。恒有 M(f) ≥ 1。莱默 1933 年发现 M(x⁵ − x⁴ + x³ − x² + 1) ≈ 1.1762808… 是除克罗内克多项式（M = 1）外已知的最小值，并问：是否存在 c > 1 使 M(f) ≥ c 对一切非克罗内克整多项式成立？八十余年过去，连 «下界 > 1» 都没有证明——但这不是全盲：非互反多项式一侧已被斯迈思定理完全拿下（命题 3），僵局全部集中在互反多项式。
主要概念
克罗内克定理
M(f) = 1 ⟺ f 的所有根在闭单位圆盘内 ⟺（命题 2）f 是 x 的幂乘分圆多项式—— «测度 1 的多项式被完全分类»。莱默问题即问：克罗内克家族之外，测度能否任意接近 1？
熵的解释
M(f) 的对数是 «以 f 为特征多项式的线性递推序列» 的拓扑熵（博伊德观点）。莱默问题等价于：整系数递推序列的熵是否有正下界？莱默多项式的伴随序列被称为 «最不可预测的整序列»——它在算术动力学中是已知最小熵系统，是否有更小的系统，即本问题。
主要命题与证明
命题 1（马勒测度的积分表示，完整证明） M(f) = exp(∫₀¹ log|f(e2πit)| dt)（f 无单位圆上的根时；一般情形取解析延拓定义）。
证明 耶森公式：对 f(z) = c∏(z − αj)（|αj| ≠ 1），∫₀¹ log|f(Re2πit)| dt = log|c| + Σ log max(1, |αj|/R) + deg·log R 型恒等式，在 R = 1 处化简即得。耶森公式本身由 f(z)/∏(1 − z/αj*)（把圆内零点反射到圆外）在单位圆盘内无零点、log 调和、取平均值 = log|f(0)| 证得。□
命题 2（克罗内克定理，完整证明） 设 f 是首一整多项式，所有根满足 |α| ≤ 1。则 f 的所有根都是单位根。
证明 记 fn(x) = ∏j(x − αjn)。①系数为整数：αjn 都是代数整数，且根集在伽罗瓦共轭下不变（f 的根集本身就是完整的共轭系），故初等对称多项式的值是固定代数整数，即通常整数。②系数一致有界：每个 |αjn| ≤ 1，初等对称多项式由根模控制，|系数| ≤ C(d)。①②合起来：整数、有界 → 只有限多种可能 → 存在 m < n 使 fm = fn → 多重集 {αjm} = {αjn} → 对每个固定 j，序列 {αjn}n 落在有限集内 → 存在 m < n 使 αjm = αjn → αjn−m = 1（α ≠ 0，因 |α| ≤ 1 且若 α = 0 则 f(0) = 0 而 f 首一亦可，单独处理平凡）。故每个根是单位根。□
命题 3（斯迈思定理 1971，完整陈述） 非互反多项式（f ≠ ±xkf(1/x)）的马勒测度有显式下界：M(f) ≥ M(x³ − x − 1) = ρ ≈ 1.324718，其中 ρ 是 x³ = x + 1 的唯一实根（塑料数）。故莱默问题的全部困难在互反多项式——它们恰好是 «实乘性动力系统» 的特征多项式，而互反性的对称结构正是所有已知方法失效的地方。
命题 4（多布罗沃尔斯基下界 1979，严格梗概） 存在普适函数：对任何非常数非克罗内克整多项式，log M(f) ≥ c·(log log d/log d)³（d = 次数，c > 0 绝对常数）。这是 «下界 > 0» 的唯一已知形状——但随次数增大衰减至 0，距莱默常数 0.1625…（log 1.17628）有无限距离。证明用 «根的角分布» 的初等引理 + 范数幂的迹展开；后续改进（Dubickas 等）只动了常数与指数细节。
进展与文献
莱默 1933 原始论文；Boyd 的系列计算（1980s）把次数 ≤ 44 的最小测度全部列出——莱默多项式始终第一，其后是 1.2167…（Mossinghoff 的纪录清单持续更新）；斯迈思定理见 Invent. Math. 1971；多布罗沃尔斯基见 Acta Arith. 1979。莱默多项式本身是互反的（系数 1, −1, 1, −1, 1 首尾对称），故命题 3 对它无效；所有已知的 «接近纪录» 多项式都是互反的。算术动力学方向：Poonen–Zannier 已证 «有理预周期点的存在 ⇒ 动力系统马勒测度 ≥ 莱默常数»——又一个 «动力学世界先解决» 的样本。