问题
椭圆曲线 E: y² = x³ + ax + b（判别式非零）的两面：代数面是 Mordell–Weil 群 E(ℚ)（有理点加法群），其结构为 ℤr ⊕ 有限群；解析面是哈斯–韦伊 L 函数 L(E, s)（局部欧拉因子的乘积）。BSD 猜想（1960 年代）断言两面在同一处相遇：
第一部分（秩公式）是千禧奖问题的主体；第二部分（精细公式）把周期 Ω、调节子 Reg、塔特–沙法列维奇群 Ш 的阶与局部因子全部锁死。它是 «解析对象控制算术对象» 的最深刻实例之一。
主要概念
Mordell–Weil 群与秩
E(ℚ) 在弦切定律下成群；Mordell 定理：它有限生成。r = E(ℚ) 的自由秩是 «方程有多少独立的有理解族» 的量度——从 π/2 到 28（已知最大秩纪录）不等。
解析秩与哈斯原理的失效点
解析秩 ran = ords=1 L(E,s) 可以被数值计算。BSD 断言 ran = r。当两者 «暂时» 不等时，障碍恰是 Ш——«局部分析都通、全局点不存在» 的非阿贝尔上同调实体，BSD 的精细公式把它定价为有限阶群。
主要命题与证明
命题 1（Mordell 定理的骨架，严格梗概） E(ℚ) 有限生成。
梗概 两步。①（弱 Mordell 定理）E(ℚ)/2E(ℚ) 有限：用 2-下降——每个 «半点» 对应一个二次扩域上的除子方程，库默尔论断把它折进 ℚ²(√(x³+ax+b) 的 2-类域) 的有限单位群/类群信息。②（高度机器）定义典范高度 ĥ(P) ≈ log max(|x| 分子分母)，证明（a）ĥ(P+Q) + ĥ(P−Q) = 2ĥ(P) + 2ĥ(Q) + O(1)（平行四边形法则的椭圆版）；（b）每个实数只有有限多个点的高度落在其中。由①与（a），E(ℚ) 模去有限指标子群后每点可表示为 «高度 ≤ B 的有限集» 的组合——抽屉原理收尾。□
命题 2（已证的 «秩 0/1 桥梁»，完整陈述） ①（Coates–Wiles 1975，复乘）L(E,1) ≠ 0 ⇒ E(ℚ) 有限（秩 0）。②（Gross–Zagier 1986）L′(E,1) ≠ 0 ⇒ 存在无穷阶有理点（Heegner 点的导数公式给出解析秩 1 ⇒ 代数秩 ≥ 1）。③（Kolyvagin 1989，欧拉系统）② 的反向与加强：解析秩 ≤ 1 ⇒ 代数秩 = 解析秩 且 Ш 有限。合起来：解析秩 ≤ 1 的椭圆曲线，BSD 的秩部分全部成立——这是四十年来唯一成片拿下的区间。
骨架 Kolyvagin 的欧拉系统：对每个满足希格纳条件的辅助虚二次域 K，构造 «希格纳点导数的整除性链» Dn ∈ E(K)，其嘉当对偶配对满足精确的 «欧拉系统关系»。若解析秩 ≤ 1，则这些关系强制 E(ℚ) 的塞尔默群规模被 L-值的零/非零完全锁死：L ≠ 0 ⇒ 塞尔默群有限 ⇒ 秩 0 且 Ш 有限；L′ ≠ 0 ⇒ 构造出无穷阶点且塞默群结构精确。□
命题 3（平均秩革命，完整陈述） Bhargava–Shankar（2010–2015）证明：按高度排序的所有椭圆曲线中，平均秩 < 1（后改进至 ≈ 0.885 裸界）。结合命题 2 与 Bhargava–Shankar–Skinner 的 «正比例秩 0 + 解析秩 0» 定理（及 Skinner–Urban 的岩泽主纲理论）：全体椭圆曲线中至少正比例（> 66%，随参数推进不断提高）满足 BSD 的秩部分。但 «单条曲线的一般秩» 与 «秩 ≥ 2 的任何一般结果» 仍全无。
进展与文献
BSD 原始论文 1965 年系列；Silverman《The Arithmetic of Elliptic Curves》第二卷是标准教材。精细公式方向：Kato 的欧拉系统给出 Ш 的整除性；Flach 对单个曲线构造欧拉系统元素失败于 «第二层»——这正是欧拉系统方法的天然边界，也是问题难度的一个定量指标。与希尔伯特第十问题的联系：BSD（秩可计算性）蕴含 «存在算法判定任意亏格 1 曲线上有无理点»——因此 BSD 比 «希尔伯特第十问题的系数版» 更强。计算验证：LMFDB 收录的数百万条曲线，秩 0/1 者全部与命题 2 相容；秩 ≥ 2 的曲线的解析秩靠 L-级数数值计算对上——数据无反例，理论无入口。