问题
费马小定理：p 素数时 p | 2p−1 − 1。什么时候 «平方» 也成立，即 p² | 2p−1 − 1？这样的 p 称为（以 2 为底的）维费里希素数。已知只有两个：1093（迈斯纳 1913）与 3511（贝利–米克 1922），搜索至 6.7×1015 无第三例。对一般底 a：底 3 的最小维费里希素数是 11（3¹⁰ ≡ 1 mod 121）。问题：维费里希素数是否对每个底有无穷多个？概率启发式（命题 3）说 «是，密度 ~ log log»，而连 «是否存在第三个» 都不知道——已知信息全部是 «负向» 的（命题 1）。
主要概念
费马商
qp(a) = (ap−1 − 1)/p 是 «费马商»；维费里希条件即 qp(a) ≡ 0 (mod p)。费马商的算术（米尔曼尼夫商、艾森斯坦和）是 FLT 第一情形理论与库默尔判据的枢纽。
与 FLT 第一情形的生死关系
维费里希 1909 证明：若 FLT 第一情形对 p（即 xp+yp+zp = 0 无 p ∤ xyz 的解）失败，则 p 是以 2 为底的维费里希素数；米尔曼尼夫 1910 加上底 3。故 «维费里希素数有限 + 底 3 维费里希素数有限» 曾是 FLT 第一情形的攻击路线——怀尔斯之后它退役为 «结构问题»，但其中的机制（命题 1）仍是库默尔–艾森斯坦框架的最佳展示。
主要命题与证明
命题 1（维费里希–米尔曼尼夫定理，完整陈述与证明骨架） 若 FLT 第一情形对奇素数 p 失败，则 2p−1 ≡ 1 (mod p²) 且 3p−1 ≡ 1 (mod p²)。
骨架 库默尔的 «理想类数判据»：FLT 第一情形失败 ⇒ p 整除某个伯努利分子（库默尔判据的失败侧）。再经艾森斯坦恒等式：Σj=1(p−1)/2 1/j ≡ −2qp(2) (mod p) 与米尔曼尼夫的同余 Σ 1/j² ≡ 0 (mod p)（对第一情形反例的结构分析），把 «类数整除» 逐级转译为 «费马商 ≡ 0»。□
命题 2（1093 的验算路线，完整演算骨架） 1093 是维费里希素数。
演算 需证 2¹⁰⁹² ≡ 1 (mod 1093²)。路线：2¹⁰⁹² = (2¹⁸²)⁶。用 «半和» 恒等式（命题 1 的艾森斯坦和）：对 p = 1093，Σj=15461/j 的奇偶项分离给出 2qp(2) ≡ −Σ 1/j；直接数值路线更快：反复平方计算 2 的 182 次幂模 1093² = 1194649——由 2¹⁸² = 2·(2⁷)²⁶ 起步，模幂约 12 次平方、每次截断到 7 位数，最终得 2¹⁰⁹² ≡ 1 (mod 1194649)（迈斯纳 1913 年的手算即此路线）。□
命题 3（启发式，完整推导） 固定底 a，素数 p ∤ a 是维费里希素数的 «概率» 约为 1/p（ap−1 mod p² 在 «与 1 同余的 p 个剩余类» 中近似均匀，命中 1 的概率 1/p）。故 πW(x) ≈ Σp≤x 1/p ≈ log log x + M——增长极其缓慢：log log(6.7×1015) ≈ 3.5，与 «只见到 2 个» 相容（常数项的随机涨落 ±2 完全正常）。发散性 ⇒ 预测无穷多个，但下一个可能比可观测宇宙的原子数还大。
命题 4（西尔弗曼定理 1988，严格梗概） abc 猜想蕴含：对每个底 a ≥ 2，非维费里希素数（p² ∤ ap−1−1）有无穷多个——且密度为 1。梗概：反设除有限集 S 外全是维费里希素数；对 n = ak − 1 应用 abc 于 1 + (ak−1) = ak：根积受 «ak−1 的素因子至多 «平方出现»» 压制（维费里希假设使新素因子以平方指数进入），导出 rad(ak(ak−1)) 的增长跟不上 ak——与 abc 矛盾。□
进展与文献
维费里希 1909、米尔曼尼夫 1910 的原文是库默尔理论的巅峰应用；西尔弗曼见 Invent. Math. 1988（«Wieferich's criterion and abc»）。计算：PrimeGrid 项目把底 2 搜索推至 6.7×1015（2010s 后仍无第三例）；底 3 的第二例 1006003 已知。第二类维费里希素数（费马商 qp(2) ≡ 0 mod p 且 qp(2)² ≡ 0 mod p 的 «二阶» 版本）至今零样本。与问题 33（欧几里得数的平方因子）、46（Agoh–Giuga）同属 «模 p² 的伪随机命中» 家族——三者共享命题 3 的启发式，也共享 «一个样本都没有/只有两个» 的尴尬。