梅森素数有无穷多个 · 公开问题 16

问题

形如 M_p = 2^p−1（p 素数）的数称梅森数，为素数者称梅森素数。猜想梅森素数有无穷多个，且个数服从精确的渐近律（Wagstaff 启发式，命题 3）。迄今发现 52 个，最大者 M_136279841 有四千一百多万位——已知最大素数的纪录几十年来都由梅森素数保持，因为卢卡斯–莱默判别法（命题 2）是已知最有效的素性判别。

主要概念

指数为何必须是素数

2^ab−1 有代数分解（命题 1），故梅森素数的指数必为素数；但 p 素数不保证 M_p 素（2¹¹−1 = 2047 = 23×89）。另一条关键性质：素数 q | M_p（p 奇素数）时 ord_q(2) = p（2^p ≡ 1 而 2 ≢ 1 mod q），故 p | q−1 且 q 奇，即 q ≡ 1 (mod 2p)。于是 M_p 不含任何 ≤ 2p 的素因子——这是 Wagstaff 启发式的源头。

卢卡斯–莱默序列

递归 s₀ = 4，s_k+1 = s_k²−2。判别法：奇素数 p 使 M_p 素 ⟺ s_p−2 ≡ 0 (mod M_p)。判别只需 p−2 次模平方，对几千万位的数完全可行，是 GIMPS 分布式计算的引擎。

主要命题与证明

命题 1（完整证明）　若 2ⁿ−1 为素数，则 n 为素数。

证明　设 n = ab，a, b > 1。则

2^ab−1 = (2^a)^b−1 = (2^a−1)(2^a(b−1)+2^a(b−2)+⋯+2^a+1),

第二个因子 ≥ 2^a+1 > 1，第一个因子 2^a−1 ≥ 3，故 2ⁿ−1 为合数。逆否即得。□

命题 2（卢卡斯–莱默判别法）　设 p 奇素数，M = 2^p−1，s₀ = 4，s_k+1 = s_k²−2。若 M | s_p−2，则 M 为素数（充分性，完整证明）；素性蕴含整除（必要性，梗概）。

充分性证明　设 M | s_p−2。反设存在素数 q | M，q < M。在环 R = F_q[x]/(x²−3) 中取 ω = 2+√3，ω̄ = 2−√3；ω·ω̄ = 1，故 ω 可逆。先证恒等式 s_k = ω^{2^k}+ω^{−2^k}：归纳地，k = 0 时 ω+ω⁻¹ = ω+ω̄ = 4 = s₀；若对 k 成立，则 s_k+1 = s_k²−2 = (ω^{2^k}+ω^{−2^k})²−2 = ω^{2^k+1}+ω^{−2^k+1} ✓。由 M | s_p−2，在 R 中 ω^{2^p−2}+ω^{−2^p−2} = 0，两侧乘 ω^{2^p−2} 得 ω^{2^p−1} = −1，其平方给出 ω^{2^p} = 1。于是 ω^{2^p−1} = −1 ≠ 1，ord(ω) 恰为 2^p（它整除 2^p 而不整除 2^p−1）。

情形一：x²−3 在 F_q 有根。则 ω ∈ F_q^*，2^p = ord(ω) 整除 |F_q^*| = q−1，故 q ≥ 2^p+1 > M，与 q | M 矛盾。情形二：x²−3 不可约，R ≅ F_q²。Frobenius 映射 (a+b√3) ↦ (a+b√3)^q = a + b(√3)^q = a−b√3（系数属 F_q 被 Frobenius 固定；(√3)^q = √3·3^(q−1)/2 = −√3，因 3 是模 q 非剩余）交换 x²−3 的两根，即 ω^q = ω̄ = ω⁻¹，故 ω^q+1 = 1，ord(ω) = 2^p | q+1，q ≡ −1 (mod 2^p)，得 q ≥ 2^p−1 = M，与 q < M 矛盾。两情形皆矛盾，故 M 无真素因子。□

必要性梗概　M 素时 M ≡ 7 (mod 12)（p ≥ 3 给 2^p ≡ 8 (mod 12)），故 (3/M) = −1，同一 Frobenius 论证给出 ω^M+1 = ω^{2^p} = 1；再证 ord(ω) = 2^p（⟨ω⟩ 与基域子群 F_M^* 的阶 2^p−2 的 2-adic 相交分析），得 ω^{2^p−1} = −1，即 s_p−2 ≡ 0。细节见 Rosen《Elementary Number Theory》的定理。□

命题 3（Wagstaff 启发式，完整推导）　指数 p ≤ x 的梅森素数个数渐近 (e^γ/log 2)·log x。

推导　由 q ≡ 1 (mod 2p)，M_p 自动避开一切素数 2, 3, …, 2p 的整除。大小 ~ 2^p 的随机奇数的素概率约 2/log 2^p = 2/(p log 2)；「自动避开前段小素数」按 Mertens 乘积折算为增强因子 ∏_2<q≤2p(1−1/q)⁻¹ ≈ e^γ·log 2p/2。于是单点素概率

P(M_p 素) ≈ (2/(p log 2))·(e^γ log 2p/2) ~ (e^γ/log 2)·(log p)/p,

对素数 p ≤ x 求和，用 Mertens 型估计 Σ_p≤x (log p)/p ~ log x，得个数 ~ (e^γ/log 2)·log x。前 52 个梅森素数的指数分布与该预测统计吻合。□

进展与文献

GIMPS（Great Internet Mersenne Prime Search）自 1996 年起发现全部新纪录；第 52 个梅森素数 M_136279841（2024）。Lucas–Lehmer 的严格处理见 Rosen, Elementary Number Theory；Wagstaff 启发式即 Lenstra–Pomerance–Wagstaff 猜想。