爱多士–莫泽方程 · 公开问题 24

问题

爱多士–莫泽方程（1960）：求正整数 m ≥ 3 与 k ≥ 2 使

1^k + 2^k + ⋯ + (m−1)^k = m^k.

唯一已知解是 k = 1 的平凡情形 1 + 2 = 3。猜想：k ≥ 2 时无解。这是「幂和自指」问题的原型——左边用 m 以下各数的 k 次幂堆出 m 自身的 k 次幂。

主要概念

幂和与伯努利数

固定 k 的幂和 S_k(m−1) = Σi^k 是 m 的 k+1 次多项式（Faulhaber 公式），系数由伯努利数 B_j 给出。把方程两边看成多项式恒等式与整点问题的叠加：模分析给出整除性强约束，实分析（增长比较）给出量级约束，两者夹击。k 固定时方程是 m 的高次多项式方程——命题 1–3 对 k = 2, 3, 4 给出完整初等排除；一般 k 的困难在于多项式的次数本身随 k 增长。

Moser 的素数平均思想

Moser（1953）的关键观察：方程两边 mod p（p 取 m/2 与 m 之间的素数）时，费马小定理把 i^k 的行为由 k mod (p−1) 决定；对不同素数同时施压，迫使 k 被许多 p−1 同时整除——于是 k 被迫巨大，而巨大的 k 又与增长比较矛盾。这一「多素数同时施压」的框架至今是该问题的全部结构性武器。

主要命题与证明

命题 1（k = 2 无解；完整证明）

证明　Σ_i=1^m−1 i² = (m−1)m(2m−1)/6。方程化为 (m−1)(2m−1) = 6m，即 2m² − 3m + 1 = 6m，2m² − 9m + 1 = 0。判别式 81 − 8 = 73 不是完全平方数（8² = 64 < 73 < 81 = 9²），故无整数根。□

命题 2（k = 3 无解；完整证明）

证明　Σ i³ = [(m−1)m/2]²。方程化为 ((m−1)m/2)² = m³，即 (m−1)²m²/4 = m³，(m−1)² = 4m，m² − 6m + 1 = 0。判别式 36 − 4 = 32 不是完全平方数，无整数根。□

命题 3（k = 4 无解；完整证明）

证明　Σ i⁴ = (m−1)m(2m−1)(3m²−3m−1)/30。方程（m ≥ 2 可除以 m）化为

(m−1)(2m−1)(3m²−3m−1) = 30m³.

三个因子与 m 都互素：m−1 ≡ −1 (mod m)；2m−1 ≡ −1 (mod m)；3m²−3m−1 ≡ −1 (mod m)。故左边与 m 互素，而右边含因子 m³，迫使 m³ | 30，m ≤ 3。逐一检查：(m,k) = (2,4)：1 = 16 ✗；(3,4)：1+16 = 81 ✗。无解。□

命题 4（Moser 方法与现代界；证明梗概）　若解存在，则 k ≥ 5 且 m > 10¹⁰；Moree、te Riele、Urbanowicz（1994）用 Moser 框架加大规模模运算计算，把 k 必须满足的同余条件推进到覆盖大量剩余类，并把 m 的下界大幅强化。

梗概　设 1 ≤ p ≤ m−1 中的素数 p 满足 m/2 < p < m。方程两边 mod p：剩余 1, …, p−1 中每个类恰出现一次，其中前 m−p−1 个出现两次（i 与 i+p 同时 ≤ m−1）。用经典事实 Σ_j=1^p−1 j^k ≡ −1 (mod p)（(p−1) | k 时）或 ≡ 0（否则），对不同素数 p 联立，Moser 推出 (p−1) | k 对「绝大多数」区间素数成立——k 因此被一族互异 p−1 的最小公倍数整除，增长快于 m 的任何幂；而增长比较（S_k ≈ m^k+1/(k+1) 的上界与 m^k 对齐）反过来约束 (m, k) 的相对大小。两条挤压线的交即 Moser 的原始界；换用更强的素数分布与模计算即得现代界。□

进展与文献

Moser（1953）的原始方法见 Math. Mag.；Moree–te Riele–Urbanowicz（Math. Comp. 1994）的现代计算；Kellner 的 Erdős–Moser 方程系列论文把方程转译为伯努利数的强同余条件（与问题 46 的 Agoh–Giuga 纲领同源）。相关：幂和方程 S_k(m−1) = m^k 的实数近似解显示 (3,1) 附近的「近失」解衰减极快，数值证据与猜想高度一致，但结构性证明仍缺席。