问题
求长方体使三条棱 a, b, c、三个面对角线 √(a²+b²)、√(a²+c²)、√(b²+c²) 与体对角线 √(a²+b²+c²) 全部为有理数（整数情形即为完美长方体/完美盒）。这是勾股定理的空间升级：平面情形（勾股数组）有无穷多且有完全参数化，空间情形七量齐整的要求至今一例未得。
主要概念
欧拉砖：七缺一
只要求三棱与三面对角线为整数（放弃体对角线）的长方体称欧拉砖，欧拉时代已有无穷多族，最小一例 44、117、240（面对角线 125、244、267，体对角线 √73225 ≈ 270.6 非整数）。从欧拉砖到完美盒，恰差「体对角线也是有理数」这一步——而这把问题送进椭圆曲线的深水区。
两个等价化约
有理盒与整数盒等价（命题 1），故「有理完美盒存在」与「整数完美盒存在」同生共死；奇偶结构（命题 2）给出本原盒的唯一形态。这两个初等化约把搜索空间压缩到位，但体对角线条件本质上是第三条勾股关系 d²+e²+f² = 2g²（命题 3），其算术远比平面勾股复杂。
主要命题与证明
命题 1（有理盒 ⇔ 整数盒；完整证明） 存在有理完美盒当且仅当存在整数完美盒。
证明 （⇐）显然。（⇒）设棱 a, b, c 与七条对角线全为有理数。取公分母 L（各数的分母之最小公倍数），令 a′ = La, b′ = Lb, c′ = Lc——全为整数。对角线：√(a′²+b′²) = L·√(a²+b²) 为有理数乘整数 = 整数；体对角线同理。故 (a′, b′, c′) 是整数完美盒。□
命题 2（本原盒的奇偶结构；完整证明） 若整数完美盒（a,b,c）的最大公因子为 1，则恰有一条棱为奇数。
证明 平方数 mod 4 只能是 0 或 1。（一）三条棱全奇：体对角线平方 g² = a²+b²+c² ≡ 3 (mod 4)，非平方数，矛盾。（二）恰两条棱奇（设 a, b 奇）：其对角线平方 d² = a²+b² ≡ 2 (mod 4)，矛盾。（三）全偶则公因子 ≥ 2，与本原性矛盾。（四）只剩「恰一条棱奇」：体对角线平方 ≡ 1，两条「奇偶棱」对角线平方 ≡ 1（奇平方），「偶偶棱」对角线平方 ≡ 0，均无矛盾。故本原盒必恰一条棱为奇数。□
命题 3（对角线恒等式；完整证明） 对任意长方体，三个面对角线 d, e, f 与体对角线 g 满足 d²+e²+f² = 2g²。
证明 d² = a²+b²，e² = a²+c²，f² = b²+c²，g² = a²+b²+c²。相加前三式：每个 a² 恰出现两次，故 d²+e²+f² = 2(a²+b²+c²) = 2g²。□
命题 4（欧拉砖 44·117·240 的完整验算）
验算 44² = 1936，117² = 13689，240² = 57600。面对角线：1936+13689 = 15625 = 125² ✓；1936+57600 = 59536 = 244² ✓；13689+57600 = 71289 = 267² ✓。体对角线：73225 = 5²·29·101，非平方数（验证 270² = 72900 < 73225 < 73441 = 271²），故体对角线无理——恰是欧拉砖而非完美盒 ✓。此盒由 125² = 44²+117²、244² = 44²+240²、267² = 117²+240² 三条勾股关系搭成，是「七缺一」的典型样本。□
命题 5（椭圆曲线接口；陈述） 完美盒的七量条件可归约为：一条由欧拉砖参数控制的椭圆曲线上是否存在使体对角线为有理数的点。已知这类曲线亏格高、秩难控，全部已知手段（同余过滤、下降法、大规模数值搜索至边长 109 量级）均未找到完美盒，也未证明不存在。
说明 问题的困难根源：平面勾股数组有完整的二参数有理参数化（单位圆的有理点），而「三条勾股关系 + 一条体对角线关系」的四重交集没有群结构兜底——它是四个二次曲面的交线，一般亏格 > 1，法尔廷斯只保证有限性不保证存在性。□
进展与文献
欧拉的原始构造见其代数学讲义；系统研究见 Guy《Unsolved Problems in Number Theory》D 节；van Luijk 关于完美盒与椭圆曲线秩的计算工作；现代数值搜索（含分布式计算）的结果汇总见 Roberts《Ladders of the perfect cuboid》一类的追踪文献。姊妹问题：完美四面体（四条棱、四个面对角线…全整数）同样未决。