问题
ζ(s) 的每个非平凡零点 ρ 是否都满足：在 ρ 处 ζ 的导数不为零，即零点阶恰为 1？此问题与 RH 相互独立：即便 RH 成立，临界线上仍可能有重零点；重零点一旦存在，素数分布的显式公式会出现对数幂级的「重影」。
主要概念
零点重数
ρ 称为 m 阶零点，若 ζ(s) = (s−ρ)mg(s) 且 g(ρ) ≠ 0。等价刻画：ζ 在 ρ 处的泰勒展开从 m 次项开始非零。数值上从未见过重零点：前 1013 个零点经高精度计算全部为单零点。
显式公式
ψ(x) = Σn≤x log n 与零点的联系（见问题 01 命题 3）。零点的重数直接决定公式中各项的形态：单零点贡献 xρ/ρ，m 阶零点则引入 (m−1) 阶对数幂。
密度方法
N(T) 为高度 ≤ T 的零点总数，N0(T) 为临界线上单零点数。Levinson–Conrey 方法通过 ζ 的四次矩与辅助函数族，给出 N0(T) ≥ cN(T) 的下界。
主要命题与证明
命题 1（零点的四重对称） 若 ρ 是 ζ 的非平凡零点，则 1−ρ、ρ̄、1−ρ̄ 也都是零点。故重数在四个对称位置上一致。
证明 ①共轭对称：ζ 的级数在 σ>1 处系数为实数，故 ζ(s̄) = ζ(s)‾；两侧函数在全平面解析且在开集上相等，由解析延拓唯一性恒等成立。于是 ζ(ρ)=0 ⇒ ζ(ρ̄)=0。②函数方程对称：由 ξ(s) = ξ(1−s)，ζ(ρ)=0 ⇒ ξ(ρ)=0 ⇒ ξ(1−ρ)=0；而 1−ρ 落在临界带 0<Re<1 内，非平凡零点处 ξ 与 ζ 只差一个非零的解析因子（½s(s−1) 与 Γ(s/2) 在 0<Re s<1 处无零点），故 ζ(1−ρ)=0。③复合两步即得 1−ρ̄。重数一致：若 ζ 在 ρ 处有 m 阶零点，对恒等式 ξ(s)=ξ(1−s) 求 m 阶导数并取值，即知 ξ（从而 ζ）在 1−ρ 处零点阶也是 m；共轭侧同理。□
命题 2（重零点的显式签名；细致论证） 若 ρ = β+iγ 是 m 阶零点（β > 1/2，或 β = 1/2 且 m ≥ 2），则素数计数误差 ψ(x)−x 中含有形如 c·xβ(log x)m−1·cos(γ log x+φ) 的振荡主项；重零点因此会在素数的涨落中留下可分辨的「对数幂指纹」。
论证 显式公式由 Perron 公式从 log ζ(s) = −Σρ log(1−s/ρ) + ⋯ 的极点结构读出（该分解来自 ζ 的 Hadamard 乘积，条件是已知的零点密度界）。对 m 阶零点 ρ，−log(1−s/ρ) 在 s = ρ 的邻域内含 m·log(s−ρ) 型分支贡献；做 Perron 反演积分 ψ(x) = (1/2πi)∫ log ζ(s)xs/s ds 并移动围线扫过 ρ 时，积分 ∫(s−ρ)−1… 与对数项组合产生 xρ(log x)m−1/(ρ·1·2⋯(m−1)) 型残量（由 xs 对 s 的高阶导数在 s=ρ 处产生 logm−1x）。取实部即得所述的振荡主项。细节见 Iwaniec–Kowalski 第 5 章显式公式的推导框架。□
进展与文献
①Levinson（1974）证明至少 1/3 的零点在临界线上，Conrey（1989）改进至 41.7%；该方法的框架内这些零点几乎都是单的。②Feng（2012）证明在临界线上零点中，简单零点占至少 96.9%（相对临界线上全体零点）。③Odlyzko 的大规模数值显示相邻零点间距服从 GUE 统计，而 GUE 模型预言零点皆单。④若 ζ 与其导数无公共零点，许多显式公式的条件性结果立即无条件化。文献：Titchmarsh 第 15、17 章；Conrey, More than two fifths of the zeros of ζ are on the critical line, J. reine angew. Math. 399 (1989)。