问题
记 Pn = p1p2⋯pn 为前 n 个素数之积，欧几里得数 En = Pn + 1。每项都提供新素数（命题 1），但欧几里得的证明只要「有新素因子」，而这里问的是更强的性质：En 是否总是无平方因子——即不存在素数 p 使 p² | Pn + 1。已知对大量 n（计算已达数千项）无平方因子；但启发式（见命题 3）反而预测平方因子应当无穷多次出现——猜想的「表面内容」与「统计预期」方向相反，这在公开问题中相当罕见。
主要概念
与维费里希现象的血缘
p² | Pn + 1 是一种 «固定的乘积落在模 p² 的特殊剩余类» 事件。问题 44 的维费里希素数是 «ap−1 ≡ 1 (mod p²)»；这里是 «∏q < p q ≡ −1 (mod p²)»。两者都是 «素数在模 p² 上的伪随机游走命中特殊点»，预期频率都约 1/p。
二次互反律的约束
若 p² | Pn + 1（则 p > pn，命题 1），取模 p：∏q|P q ≡ −1，两边平方仍是 1，但直接读：−1 必须写成 ∏(各素因子) 的乘积再自乘——精确的约束是把勒让德符号逐个配平：Pn ≡ −1 (mod p) 蕴含 ∏q ≤ pn (q/p) = (−1/p)。左边的每项由二次互反律转成 mod 4 与 mod 8 的信息——素因子的分布被强加了一层代数结构。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 若 p | Pn + 1，则 p 是「新」素数：p > pn。
证明 对任意 i ≤ n：Pn + 1 ≡ 1 (mod pi)，而 p | Pn + 1，若还有 p = pi，则 pi | 1，矛盾。故 p 不在前 n 个素数中，从而 p > pn。□
命题 2（完整证明） 若 p² | Pn + 1，则 ∏q ≤ pn (q/p) = (−1/p)；其中 (·/·) 为勒让德符号。特别地，若前 n 个素数在 mod p 下「二次剩余计数」不平衡，则 p² ∤ En。
证明 p² | Pn + 1 蕴含 Pn ≡ −1 (mod p)。两边取勒让德符号（mod p 下乘性）：(Pn/p) = (−1/p)。而 (Pn/p) = ∏i(pi/p)，即得。由欧拉判据 (−1/p) = (−1)(p−1)/2。□
命题 3（反向启发式） 把 Pn 在模 p² 中当作伪随机：对固定素数 p，事件 «Pn ≡ −1 (mod p²)» 对使 p > pn 的 n 的预期频率为 1/p²。对全体素数求和：Σp 1/p² 收敛，但加权上 «n 的大小必须过 p» 的约束后，兰伯特级数型分析给出预期总数 ≈ Σp (log log p)/p ——此级数发散。故启发式预测：使 p² | En 的对 (n, p) 应当无穷多。第一个平方因子若存在，预期出现在天文数字的 n 处。
进展与文献
计算：Borwein 等（2000 年代）验证了 n ≤ 10⁴ 量级无平方因子；Marek Wolf 等在更大范围搜索仍未发现。理论：此问题被 Mullin 与 Ron Graham 反复讨论：Graham 的〈Euclid 数的平方因子〉未刊笔记与 Guy《Unsolved Problems in Number Theory》A 节的持续更新。按命题 3 的口径，诚实的预期是：第一个平方因子终将出现，但任何现有算力都够不着它。