布尼亚科夫斯基猜想 · 公开问题 14

问题

布尼亚科夫斯基（Bunyakovsky，1857）猜想：设 f ∈ ℤ[x] 满足三条件：①在 ℤ[x] 中不可约；②无固定素因子——不存在素数 p 整除一切 f(n)；③f(n) > 0 对无穷多 n ≥ 1。则 f(n) 取素值无穷多次。最著名的特例是 n² + 1：是否存在无穷多个 n 使 n² + 1 为素数？至今一个都证明不了（除 n²+1 本身外连一个二次多项式的素值无穷性都没证过）。

主要概念

三个条件的必要性

可约 ⟹ 复合（命题 1）；固定素因子 ⟹ 除该素数本身外全是合数；恒负 ⟹ 无所谓。三条件恰是「没有局部障碍」的全部内容：对每个素数 p，要求存在 n 使 p ∤ f(n)，即 f 在 F_p 上不恒取零值。注意条件②检查的是模 p 的「局部」性质，而猜想断言的是「整体」的素值无穷性——局部到整体的鸿沟正是本题的全部困难。

Bateman–Horn 常数

与辛策尔 H 猜想（问题 15）互为表里：单多项式情形的精确渐近预测为

#{n ≤ x : f(n) 素} ~ C(f)·∫₂^x dt/log f(t),

其中常数 C(f) = ∏_p (1−ρ(p)/p)/(1−1/p)，ρ(p) 是 f(n) ≡ 0 (mod p) 解的个数。对 n²+1 该常数约为 1.3728（命题 2）。

主要命题与证明

命题 1（完整证明）　若 f 在 ℤ[x] 中可约且两因子都非常数，则 f(n) 取素值至多有限多次。

证明　设 f = g·h，g, h ∈ ℤ[x] 非常数。非首一多项式在充分大的 n 处 |g(n)|, |h(n)| → ∞，故存在 N 使 n ≥ N 时 |g(n)| ≥ 2 且 |h(n)| ≥ 2。取 n ≥ N 使 f(n) > 0（若 f 最终为正；若 f 最终为负则取 |f|，素值本身只涉及正情形——f(n) 为素数时必有 f(n) > 0）。此时 f(n) = g(n)h(n)，两绝对值都 ≥ 2 的整数之积，且 f(n) > 1，故为合数。于是素值只能出现在 n < N 或 |g(n)| = 1 的有限多个 n 中（|g(n)| = 1 至多 2·deg g 个解），共有限多个。□

命题 2（启发式推导，完整计算）　对 f(n) = n²+1，Bateman–Horn 常数为

C = ∏_{p≡1 (4)} (p−2)/(p−1) · ∏_{p≡3 (4)} p/(p−1) · 1 ≈ 1.3728.

推导　ρ(p) = #{n mod p : n² ≡ −1}。p = 2：n²+1 ≡ 0 ⟺ n 奇，ρ(2) = 1，局部因子 (1−1/2)/(1−1/2) = 1。p ≡ 1 (mod 4)：−1 是二次剩余，ρ = 2，因子 (1−2/p)/(1−1/p) = (p−2)/(p−1)。p ≡ 3 (mod 4)：−1 非剩余，ρ = 0，因子 1/(1−1/p) = p/(p−1)。三个因子合成上式（p=2 因子为 1）。逐项数值累乘（部分积在 10⁶ 内收敛到 4 位小数）得 C ≈ 1.37281。预测：不超过 x 的形如 n²+1 的素数约有 1.3728·∫₂^x dt/(2 log t) 个（分母里的 2 来自 log f(t) ≈ 2 log t）——数据在 10¹² 范围内吻合良好。□

命题 3（已知最深结果；陈述）　Iwaniec（1978）：n²+1 对无穷多 n 取「至多两个素因子」的值（P₂ 数）。Friedlander–Iwaniec（1998）：二元多项式 x²+y⁴ 取素值无穷多次。

说明　Iwaniec 用半线性筛法把「素值」减弱为「几乎素值」；Friedlander–Iwaniec 是历史上第一个对两个变量的不可约多项式证明素值无穷性的工作，用的是 δ-筛与平方和的深度组合。两者距离布尼亚科夫斯基都还隔着一整个量级的困难。□

进展与文献

Bunyakovsky, Mém. Acad. Sci. St. Pétersbourg (1857)；Iwaniec, Invent. Math. 47 (1978)；Friedlander–Iwaniec, Invent. Math. 134 (1998)；Bateman–Horn 的现代综述见 Bateman–Horn, Math. Comp. 16 (1962)。