皮莱问题 · 公开问题 22

问题

皮莱（Pillai, 1936）提出的问题有两层：其一（有限性），对每个固定的整数 k，方程

a^x − b^y = k　（a,b ≥ 2，x,y ≥ 2）

只有有限多组解；其二（间隔），相邻两个完美幂（写成 n^m、m ≥ 2 形式的数）之间的间隔趋于无穷。必须如实指出：这两层的核心有限性已被 Tijdeman 于 1976 年证明（命题 1–2），k=1 的极端情形即卡塔兰定理（米哈伊列斯库 2002）。今日真正悬而未决的是三个加强版：解数的一致上界、间隔的增长率、以及有效常数的现实化——本综述按此诚实口径展开。

主要概念

完美幂与差集

完美幂序列 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, … 越往后越稀疏。皮莱问题问的是：一个固定整数 k 能被「完美幂之差」实现多少次。最小的几个例子都可手工验算：3³ − 5² = 27 − 25 = 2；2⁷ − 5³ = 128 − 125 = 3；2³ − 3² = 8 − 9 = −1（绝对值 1，即卡塔兰情形，唯一非平凡对是 8 与 9）。皮莱本人猜测每个 k 的表示次数有不依赖 k 的绝对上界，这仍开放。

Baker 线性型方法

核心工具是对数线性型 x log a − y log b 的下界：它衡量 a^x 与 b^y 的「对数距离」。Baker 定理（1966–68）给出该量的有效多项式型下界，从而把指数型方程的解压进可计算的范围。这是超越数论第一次大规模反哺丢番图方程，Tijdeman 1976 年据此一口气解决了皮莱的有限性。

主要命题与证明

引理（Baker 下界，定性形式）　存在有效常数 C，使对乘法无关的整数 a, b ≥ 2 与正整数 x, y，若 x log a ≠ y log b，则 |x log a − y log b| > (max{x,y,a,b})^−C。

命题 1（Tijdeman 定理，1976；完整推导）　对每个固定正整数 k，方程 a^x − b^y = k（a,b ≥ 2，x,y ≥ 2）只有有限多组解。

证明　设 a^x > b^y，令 Λ = x log a − y log b = log(1 + k/b^y)。由 log(1+t) ≤ t 与 b^y ≥ 2² = 4 得 0 < Λ ≤ k/4。分两种情形。若 a, b 乘法无关，Baker 引理给出 Λ > H^−C（H = max{x,y,a,b} ≥ x），故 H^−C < k/4，即 H < (4k)^1/C——四个变量全部被 k 的显式函数封顶。若 a, b 不乘法无关，则 a = d^u, b = d^v，方程化为 d^ux − d^vy = k，即 (d^ux−vy − 1)d^vy = k（设 ux > vy），于是 d^vy | k 把 vy 封顶、d^ux−vy ≤ k+1 把其余变量封顶。两种情形都只留有限多组解。□

命题 2（间隔推论；完整证明）　相邻完美幂的间隔趋于无穷。

证明　反设存在常数 K 与无穷多对相邻完美幂 P_n < P_n+1 使 P_n+1 − P_n ≤ K。由抽屉原理，某个 k ∈ {1, …, K} 被无穷多次实现为 P_n+1 − P_n = k，其中 P_n, P_n+1 都是指数 ≥ 2 的完美幂。这与命题 1（该 k 只允许有限多组解）矛盾。□

命题 3（未决的三个加强版）　（一）一致上界：皮莱猜测每个 k 的表示次数有绝对上界（与 k 无关），已知的一切界都随 k 增长。（二）增长率：第 n 个完美幂与下一个的间隔是否 ≫ N^θ（θ > 0，N 为幂值）完全未知；命题 2 只给出「趋于无穷」，不给速率。（三）现实化：Baker–Tijdeman 的界是天文数字（迭代指数型），对具体 k（哪怕 k = 2）远不能穷尽验证；卡塔兰情形 k=1 之所以能终结，靠的是米哈伊列斯库的结构性证明而非计算。

说明　三条加强版的共同瓶颈：线性型方法只「封顶」不「清点」。封顶之后要清点解，需要对每个 k 做模结构分析——而模结构随 k 的素因子剧烈变化，目前没有任何统一手段。□

进展与文献

Pillai 原始论文（Bull. Calcutta Math. Soc. 1936）；Tijdeman, On the equation of Catalan（Acta Arith. 29, 1976）；Baker 的线性型理论见其专著《Transcendental Number Theory》；米哈伊列斯库定理见问题 21 综述。现代综述见 Shorey–Tijdeman《Exponential Diophantine Equations》——皮莱问题是这部专著的轴心应用之一。