问题
取素数序列 2, 3, 5, 7, 11, 13, ⋯，构造逐层绝对差：第一层 1, 2, 2, 4, 2, 4, ⋯（相邻素数差）；第二层对第一层再作相邻绝对差 1, 0, 2, 2, 2, ⋯；如此继续。吉尔布雷思（Gilbreath，1958）猜想：每层的第一项都是 1。
主要概念
差分算子与差分塔
记 A1(n) = pn+1 − pn，Ak+1(n) = |Ak(n+1) − Ak(n)|。猜想即 Ak(1) = 1 对一切 k ≥ 1。它与离散微积分中的差分金字塔是同一件事，只是取了绝对值——正是绝对值使「符号信息丢失」，令归纳论证几乎无从下手：传统差分有线性代数（牛顿前向公式），绝对差没有。
逐层验证的成本结构
每层首项 Ak(1) 是一个确定的整数，由最初的素数完全决定（命题 2）。验证前 K 层需要素数 p1, …, p2K−1+1——验证成本随层数指数增长。Odlyzko（1993）用三千多亿个素数把猜想验证了几十层；因为每层首项恰是「一个可以有限计算的真命题」，猜想至今没有因数据而动摇，也毫无证明迹象。
主要命题与证明
命题 1（奇偶结构；完整证明） 对一切 k ≥ 1：Ak(1) 为奇数，且 Ak(n) 对一切 n ≥ 2 为偶数。
证明 对 k 归纳。k = 1：A1(1) = p2 − p1 = 3 − 2 = 1 为奇；n ≥ 2 时 pn+1、pn 都是奇素数，其差为偶。设结论对 k 成立。则 Ak+1(1) = |Ak(2) − Ak(1)| = |偶 − 奇| = 奇；n ≥ 2 时 Ak+1(n) = |Ak(n+1) − Ak(n)| 为两偶数之差的绝对值，仍为偶。□
命题 2（复杂度定理；完整证明） 首项 Ak(1) 只依赖于素数 p1, …, p2k−1+1；因此验证前 K 层只需知道前 2K−1+1 个素数。
证明 对 k 归纳证明：Ak(n) 只依赖 pn, …, pn+2k−1。k = 1：A1(n) = pn+1 − pn 依赖 pn, pn+1，即到 pn+20 ✓。设结论对 k 成立；则 Ak+1(n) = |Ak(n+1) − Ak(n)| 依赖 pn 到 pn+1+2k−1；合并两段依赖区间 [n, n+2k−1] 与 [n+1, n+1+2k−1] 得 [n, n+2k]，即依赖范围到 pn+2k = pn+2(k+1)−1 ✓。取 n = 1 即得首项 Ak(1) 依赖 p1 到 p2k−1+1。□
命题 3（前三层的显式验算） A2(1) = p3 − p2 − 1 = 1 ⟺ p3 − p2 = 2，成立（3, 5）。A3(1) = |A2(2) − A2(1)|，其中 A2(2) = |p4 − 2p3 + p2| = |p4 − 7| = 2（p4 = 7 附近验算：7−2·5+3 = 0？取实际序列 2,3,5,7,11：第一层 1,2,2,4；第二层 1,0,2；第三层 1）。
验算 第一层：|3−2|=1, |5−3|=2, |7−5|=2, |11−7|=4, |13−11|=2。第二层：|2−1|=1, |2−2|=0, |4−2|=2, |2−4|=2。第三层：|0−1|=1, |2−0|=2, |2−2|=0。第四层：|2−1|=1, |0−2|=2。第五层：|2−1|=1。前五层首项均为 1 ✓。注意第二层出现 0、第三层再翻回 1——绝对值算子的非线性让各层互不线性相关，任何「代数恒等式」式的证明路线都失效。□
进展与文献
Gilbreath 的原始观察（1958，据称源于对素数表的手工演算）；大规模验证：Odlyzko, Math. Comp. 61 (1993)（用前 3.2×1011 个素数验证几十层）。理论侧唯一确定的普适结构是命题 1 的奇偶定理；连「第二层之后的全局行为」都需要对素数间隙的结构做出目前不可及的断言。