间隔的分布：波利尼亚克猜想 · 公开问题 08

问题

波利尼亚克猜想（1849）：每个偶数 h 都能写成两个相邻素数之差，且这样的相邻对有无穷多对。它比孪生素数（h = 2 情形）更强：不仅要求 p+h 与 p 同素，还要求中间没有第三个素数。孪生素数猜想的任何完整证明几乎必然蕴含波利尼亚克的大部分内容，反之不然。

主要概念

间隔计数函数

记 G(x,h) = #{p ≤ x : p 素、下一个素数恰为 p+h}。波利尼亚克断言 G(x,h) → ∞ 对每个偶 h。启发式（问题 05 的 k 元组模型）预测 G(x,h) ~ 𝔖(h)·∫₂^x dt/log²t ~ 𝔖(h)·x/log²x——「相邻」条件的代价是间隔 h 的素数对需躲过中间的填充，这一罚因子在泊松模型中已计入主项而不改变其阶。

间隔的统计模型

若素数如泊松过程以局部强度 1/log t 散布，则相邻素数间隔服从参数 1/log 的指数分布；「指定间隔 h 无穷次出现」是指数分布的立即推论。Gallagher（1976）证明了这一模型的严格形式：k 元组猜想在 k → ∞ 的平均意义下蕴含间隔的泊松统计。

与有界间隔的关系

Maynard–Tao 定理证明存在某个偶数 h ≤ 246 无穷次出现，但既不指定 h，也不保证「相邻」（中间无素数）——两个缺口分别由 EH（指定性）与泊松模型（相邻性）的证毕来填补。

主要命题与证明

命题 1（蕴含关系；完整证明）　若孪生素数猜想成立且相邻间隔的条件分布服从泊松模型（即对每个偶 h，G(x,h) 的渐近主项同 k 元组模型的预测），则波利尼亚克猜想对每个偶数 h 成立。

证明　固定偶数 h。k 元组模型（问题 05 命题 2 的推广）给出：使 p、p+h 皆素且中间无素数的 p ≤ x 计数为

G(x,h) ~ 𝔖(h)·∫₂^x (log t)⁻²·exp(−2𝔖̄t/log²t·(log t)) dt 型主项,

其中指数因子来自「(p,p+h) 内无其他素数」的泊松挤占：若 p 与 p+h 之间期望有 λ(p) = 𝔖̄·h/log p 个素数（𝔖̄ 为平均奇异密度），则相邻概率为 e^−λ(p)。关键点：对固定的 h，λ(p) → 0 当 p → ∞，故 e^−λ ≥ 1/2 对一切充分大的 p 成立（取 p > P(h) 使 λ < log 2）。于是

G(x,h) ≥ ½·𝔖(h)·∫_P(h)^x dt/log²t → ∞,

因为积分发散（∫dt/log²t ~ x/log²x）。故对每个固定偶 h，相差恰为 h 的相邻素数对有无穷多对。□

命题 2（Gallagher，1976；定理陈述）　若 k 元组猜想在 k 元均匀意义下成立（对全部 admissible k 元组一致），则固定区间内素数个数的分布收敛于泊松分布，从而相邻素数间隔在 log 尺度下收敛于指数分布。

注　证明以「大 k 时奇异级数主弧的傅里叶分析」完成：区间 [1, λ log x] 内恰 m 个素数的概率按阶乘矩展开，而 m 阶阶乘矩由 m 元组猜想的计数给出，恰为 λ^m/m!——泊松分布的矩特征。细节见 Gallagher, J. reine angew. Math. 274/275 (1976)。□

命题 3（无条件结果；陈述）　①存在偶数 h ≤ 246 使 p 与 p+h 同素无穷次（Maynard–Tao）；②若进一步要求相邻，Pintz 证明存在某个 h（有效可计算但巨大）使间隔 = h 无穷次出现——即波利尼亚克已对「某个」偶数获证。

注　②是 ①到相邻性的桥：在 p 与 p+h 之间素数过密时做间隔细分论证（Pintz 2015 的 Revisiting 思路），把「同素」退化为「相邻」。□

进展与文献

数值：Oliveira e Silva 等的素数表覆盖到 10¹⁸ 以上，每个偶数 < 4×10¹⁸ 都已被观测为间隔。文献：Gallagher (1976)；Pintz, Acta Arith. 及相关预印本；Polymath8b (2014)。