问题
辛策尔 H 猜想（Schinzel，1958）：设 f1, …, fk ∈ ℤ[x] 都不可约、都取正值无穷多次，且乘积 f1⋯fk 无固定素因子（对每个素数 p 存在 n 使 p ∤ f1(n)⋯fk(n)）。则存在无穷多 n 使全部 fj(n) 同时为素数。Bateman–Horn 猜想进一步给出渐近公式：
其中奇异级数 𝔖 = ∏p (1−ρ(p)/p)/(1−1/p)k，ρ(p) 是乘积在模 p 下零点的个数。孪生素数猜想、素数 k 元组猜想（问题 05）都是它取线性型 n+b1, …, n+bk 的特例。
主要概念
固定素因子：局部障碍的精确含义
单看每个 fj 各自无固定素因子还不够：两个多项式可能「错位互补」，在模某个素数 p 下零点集的并恰好盖住全部剩余类，使乘积恒被 p 整除。此时若两函数值同时为素数，必有其一等于 p 本身——这类 n 只有有限多个（每个方程 fj(n) = p 至多 deg fj 个解），整体可能性被封死。命题 1 给出完全显式的例子。反之，无局部障碍时每个奇异级数因子为正：ρ(p) ≤ Σ deg fj，故 p > Σ deg fj 时因子落在 (0,1) 内；有限个小素数逐个核对即可。
与 k 元组猜想的关系
取 fj(n) = n + bj 即回到 k 元组猜想，Bateman–Horn 公式退化为 Hardy–Littlewood 的预测。H 猜想的已知结果几乎为零：除线性型的个别情形外，没有任何一般情形的无条件下界。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 取 f1(n) = n²−n+3，f2(n) = n−2。二者都不可约、各自无固定素因子，但 3 整除 f1(n)f2(n) 对一切整数 n；两式同时取素值仅当 n = 5。
证明 固定素因子排查（f₁）：f1 的固定素因子必整除 f1(0) = 3 与 f1(1) = 3，故只能是 3；而 f1(2) = 5 不被 3 整除，故无。（f₂）：固定素因子必整除 f2(3) = 1，故无。可约性：f1 的判别式 (−1)²−12 = −11 非平方数，不可约；f2 一次式。障碍：模 3 有 f1(n) ≡ n(n−1)，f2(n) ≡ n+1。n ≡ 0：f1 ≡ 0；n ≡ 1：f1 ≡ 0；n ≡ 2：f2 ≡ 0。三类剩余类全覆盖，故 3 | f1(n)f2(n) 对一切 n。同时素值：设两值同为素。若 n ≥ 6 且 n ≡ 2 (mod 3)，则 f2(n) = n−2 ≥ 4 被 3 整除，为合数；若 n ≥ 6 且 n ≢ 2 (mod 3)，则 3 | f1(n) 且 f1(n) ≥ f1(6) = 33 > 3，为合数。逐一检查 n ≤ 5：仅 n = 5 给 f1(5) = 23、f2(5) = 3，同为素数。□
命题 2（启发式推导，完整计算） 对孪生素数对 n, n+2，奇异级数 𝔖 = 2∏p>2 p(p−2)/(p−1)² ≈ 1.3203，故预测 #{n ≤ x : n, n+2 皆素} ~ 2C2·x/log²x，C2 ≈ 0.66016 为孪生素数常数。
推导 p > 2 时 n ≡ 0 与 n ≡ −2 是两个不同的零点类，ρ(p) = 2，局部因子 (1−2/p)/(1−1/p)² = p(p−2)/(p−1)²。p = 2 是临界情形：n 与 n+2 同奇偶，乘积恒偶；按线性型奇异级数的标准算法，平移族 {n, n+2} 在 p = 2 处只占一个剩余类（模 2 下 n+2 ≡ n），ρ(2) = 1，因子 (1−1/2)/(1−1/2)² = 2。无穷乘积收敛（一般项为 1−2/p² 型），数值累乘得 ∏ ≈ 0.66016，乘 2 得 𝔖 ≈ 1.32032。「大于 1」说明孪生素数比独立抛硬币模型预测的更多：素数避开小素数的连带结构是聚类而非稀疏。□
命题 3（部分结果；陈述） Gallagher（1976）：k 元组计数的泊松分布与奇异级数的平均行为一致——k 元组猜想在「对 k 平均化」意义下与素数独立性相容。Green–Tao（2004）：素数含任意长的等差数列。
说明 Gallagher 定理把「单个 k 元组不可及」换成「全体 k 元组的平均可及」，是严格框架与 H 猜想之间唯一的桥梁；Green–Tao 用 Szemerédi 定理加 Goldston–Yıldırım 型伪随机权，证明「结构存在」而非「具体型落在素数上」。两者都远不足以触及单个 H 断言。□
进展与文献
Schinzel, Acta Arith. 4 (1958)；Bateman–Horn, Math. Comp. 16 (1962)；Gallagher, Invent. Math. 32 (1976)；Green–Tao, Ann. of Math. 167 (2008)。