关卡
四关
普鲁士的柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）被普列戈利亚河分成四块陆地，之间架着七座桥。市民们赌着一件事：能不能从某块陆地出发，把七座桥一座不漏、且每座只走一次地走完？据说有人真的拿脚步丈量过很多遍，没人成功。
1736 年，在圣彼得堡科学院任职的欧拉（Leonhard Euler）给这个问题一个彻底的答案：不能。他并没有真去走一遍，而是把四块陆地缩成四个「点」、七座桥缩成七条「线」——地图被抽成了图。这一步抽象，本身就是数学史上的大事。
欧拉的论文标题是 «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis»（《与位置几何有关的一个问题的解》，1736）。他特意强调：这里重要的不是桥的长短、曲直，而是它们怎么连——连接关系本身才是关键。
「位置几何」（geometria situs）这个说法，可追溯到莱布尼茨的一个设想。欧拉这篇文章被公认为图论与拓扑学的开端：他第一次系统地研究「点与连线」的抽象结构。
把每块陆地连的桥数记为该点的度数；度数为奇数的点叫奇点。欧拉的结论可以写成一句话：
道理很直观：走一笔画时，除了起点和终点，每「进」一个点必再「出」一次，进出的边成对消耗，所以这些点的度数必为偶数。只有起点、终点可以是「只出不进 / 只进不出」，最多留 2 个奇点。柯尼斯堡四块陆地的桥数分别是 5、3、3、3——四个奇点，所以走不完。
近一个世纪后，爱尔兰数学家汉密尔顿（William Rowan Hamilton）在 1857 年发明了「Icosian Game（二十面体游戏）」：要求沿着正十二面体（它的骨架是正二十面体的对偶）的棱走一圈，每个顶点恰好经过一次，最后回到起点。他后来还为此申请了专利，卖给了一个玩具商。
「每条边恰好一次」是欧拉问题，「每个点恰好一次」是汉密尔顿问题。后者看起来只差一个字，却难得多——至今没有像奇点数那样简洁的判据，它正是著名的 NP 完全问题。
欧拉解决七桥问题的手段，比结论本身更重要：把与问题无关的细节全部丢掉，只留下「谁和谁相连」。这正是现代数学的核心动作。由它长出的东西多得惊人——地图染色、网络路由、社交网络、电路设计、DNA 测序、物流调度，背后都是同一套「点与边」的语言。
今天的城市里，你也可以自己造桥、拆桥，看看什么时候这张图刚好「一笔画得完」。去「造桥」页试试：柯尼斯堡那 4 个奇点，加几座桥才能救活？