规则卡 · 从印章到画笔5 分钟
第五部我们用印章盖出带饰；这一部您直接执笔作画——数学藏在引擎里：您只需画好一个基本域，七大带饰群自动把它繁殖成无限镶边。数学是骨骼，艺术是血肉。
什么是带饰？—— 七个家族统治的无限条带
带饰（frieze）是沿一个方向无限重复的条带纹样：衣饰镶边、回纹、希腊钥匙纹、花砖腰线。它的全部对称构成带饰群——无限群，却只被 7 种结构统治。每种对称动作可用坐标写出：
| 动作 | 名字 | 坐标 |
|---|
| T | 平移 1 格 | (x, y) → (x+1, y) |
| V | 竖镜（沿竖直轴翻转） | (x, y) → (−x, y) |
| H | 横镜（沿条带中线翻转） | (x, y) → (x, −y) |
| R | 旋转 180° | (x, y) → (−x, −y) |
| G | 滑移（横镜 + 平移半格） | (x, y) → (x+½, −y) |
七个家族（IUC 记号）
| IUC | 中文名 | 点群 | 抽象群 | 对称元素 | 每格像数 |
|---|
| p1 | 平移带 | {1} | Z | 仅平移 | 1 |
| p11g | 滑移带 | {1,H} | Z | 本质滑移 ½ | 2 |
| p1m1 | 竖镜带 | {1,V} | D∞ | 竖镜 ×2 / 格 | 2 |
| p2 | 旋转带 | {1,R} | D∞ | 180° 中心 ×2 / 格 | 2 |
| p11m | 横镜带 | {1,H} | Z×Z₂ | 横镜沿中线 | 2 |
| p2mg | 镜滑带 | V4 | D∞ | 竖镜 + 错位中心 + 滑移 | 4 |
| p2mm | 双镜带 | V4 | D∞×Z₂ | 双镜 + 中心（全对称） | 4 |
您只负责画一个格子（基本域画板，100×120）。例如选 p2mm：引擎把您的笔迹沿竖镜、横镜各翻一次、再转 180°——一笔落纸，四像同生，再沿条带方向无限平移。选 p1 则只有平移：笔迹原样排队。七个家族 = 七种「繁殖方式」。
本工坊工具速览
- 画笔：自由手绘（粗细 / 颜色 / 透明度可调）；橡皮：点掉不想要的元素。
- 形状：直线、矩形、椭圆、折线（多边形）、星形（角数可调）。
- 光效：发光（0–5 档光晕）与投影，让纹样有「光感」。
- 调整：点选任意元素 → 拖动移位、改色改粗细、层级升降、复制、删除；Ctrl+Z / Ctrl+Y 撤销重做。
- 对称参考线：画板上可显示当前家族的镜面 / 旋转中心 / 滑移轴——看见对称，才能驾驭对称。
- 导出：一键导出 SVG 矢量图（无限放大不失真）或 JPG 图片。
坐标约定：画板 100×120 像素 = 一个基本周期。格中心 (50,60) 是原点：竖镜画在 x=50 与格边界，横镜沿 y=60，滑移轴沿中线。引擎把每个对称动作编译成一条 SVG matrix() 变换。
艺术画板核心创作
左侧选工具，中间画基本域，右侧调属性；下方选家族、看无限条带实时生成。每一笔都被对称引擎即时繁殖。📱 手机版：工具在画板上方一行，画板占满屏宽，属性在画板下方；折线画满 3 点后点「✅ 闭合折线」收笔。
基本域 · 100 × 120（格中心 50,60 = 对称原点）
对称引擎：
条带长度 5 格
家族画廊 · 一稿七面对比实验
同一份基本域设计，投到七个家族上各是什么样子？——这是「带饰群结构定理」的可视化实验台。点选任意卡片即切换画板家族。
对比 p11g 与 p11m（点群同为 {1,H}）：同一份设计，一个「上下互映总在半格之外」，一个「严格贴着中线翻」；再对比 p2mg 与 p2mm（点群同为 V4）：镜与心的错位 vs 对齐。点群相同、实现不同——这正是 7 = 1+1+1+2+2 的分岔现场。
定理与教学教师版
带饰群结构定理：设 G 是带饰群，Λ 是它包含的全部平移，则 Λ ≅ Z 是 G 的正规子群；商群 G/Λ（点群）是 V4 = {1, V, H, R} 的子群，只有 5 种：{1}、{1,V}、{1,H}、{1,R}、V4。其中 {1,H} 型分裂为纯横镜 p11m / 本质滑移 p11g 两种，V4 型分裂为双镜 p2mm / 镜滑 p2mg 两种——合计 7 类。完整证明见第五部《七纹镶边》定理之家的五张证明任务卡。
本工坊的数学内核（全部经 Python 验证器 validate_frieze_art.py 实锤）
| 组件 | 实现 |
|---|
| 群元素编码 | [e, d, q]：(x,y) → (e·x + q/4, d·y)，q 以 ¼ 格为单位；与第五部印章引擎同构 |
| 渲染矩阵 | matrix(e, 0, 0, d, 50(1−e)+25q, 60(1−d))——全部整数分量，零浮点误差 |
| 陪集代表 | 每个 (e,d) 型取 q mod λ 一个代表，reps 数恰为点群阶 1 / 2 / 4 |
| 平铺公式 | rep · Tk 的 q = qrep + 4k，k 从 −1 到 格数+1（边界余量） |
| 参考线 | 由群闭包反解竖镜 / 旋转中心 / 滑移轴位置（geometry 函数，位置与第五部全等） |
教学建议（2 课时）
- 第 1 课时 · 创作：自由画基本域 → 七家族逐一切换，观察「每格像数 = 点群阶」；故意画一个左右对称的纹样，问学生：p1 家族下它看起来像哪个家族？（图案反咬：图案群 ≥ 印章群）
- 第 2 课时 · 分析：布置「给定目标效果选家族」任务——脚印带（p2mg）、回纹（p2 或 p2mm）、波浪（p11g）；用参考线验证家族，导出 SVG 打印成纸质镶边装饰教室。
- 跨学科：伊斯兰几何纹样、希腊回纹、织物腰线——带饰群是「人类五千年来不自觉运用的抽象代数」。
导出说明
- SVG：矢量格式， Illustrator / Inkscape / 浏览器可直接打开，无限放大不失真，适合印刷与二次编辑。
- JPG：位图格式（白底，1600px 宽），适合插入文档与幻灯片。
- 导出内容与预览条带完全一致（同一份群元素变换表）。